Wie können Wavelets auf PDE angewendet werden?

Ich möchte lernen, wie Wavelet-Methoden auf PDE angewendet werden können, kenne aber leider keine gute Ressource, um mehr über dieses Thema zu erfahren.

Es scheint, dass sich viele Einführungen in Wavelets auf die Interpolationstheorie konzentrieren, z. B. das Zusammensetzen eines Signals durch Überlagerung von vorzugsweise wenigen Wavelets. Anwendungen für PDEs werden manchmal erwähnt, ohne näher auf dieses Thema einzugehen. Ich interessiere mich für gute zusammenfassende Artikel für Leute, die eine WFT gesehen haben, aber keine weiteren Kenntnisse zu diesem Thema haben. Eine gute Zusammenfassung wäre natürlich auch interessant, wenn Sie glauben, dass dies möglich ist.

Ich bin besonders daran interessiert, einen Eindruck zu bekommen, welche Art von Fragen typischerweise auftauchen. Ich weiß zum Beispiel, dass Finite Elemente typischerweise auf eine PDE in einer begrenzten Domäne mit Lipschitz-Grenze angewendet werden. Dies sind die typischen Fragen bei der Auswahl des Ansatzraums (konform, nicht konform, Geometrie und Kombinatorik), wie die Konvergenztheorie erstellt wird ( eigentlich sollte die Galerkin-Theorie für Wavelets nicht so unterschiedlich sein, und ich habe eine gewisse Intuition, welche mathematischen Dinge in Implementierungen machbar sind. Eine solche Vogelperspektive auf Wavelets für PDE wäre für mich sehr hilfreich.

Wavelets haben gute Multi-Resolution-Approximationseigenschaften, sind jedoch für die Lösung von PDEs nicht besonders beliebt. Die am häufigsten genannten Gründe sind Schwierigkeiten beim Auferlegen von Randbedingungen, die Behandlung nicht ausgerichteter Anisotropie, die Bewertung nichtlinearer Terme und die Effizienz.

Wavelets erzielten erstmals starke Konvergenzergebnisse für vollständig adaptive Methoden (siehe Cohen, Dahmen und DeVore 2001 und 2002 ). Dieser entscheidenden Theorie folgten jedoch schnell Binev, Dahmen und DeVore (2004), die ein ähnliches Ergebnis für adaptive Finite-Elemente-Methoden bewiesen, die für traditionelle PDE-Probleme in moderaten Dimensionen populärer sind. Wavelet-Basen sind beliebt für höherdimensionale Probleme, wie z. B. Spartensormethoden für stochastische PDEs, Schwab und Gittelson (2011) und diese Diskussion .

Differentialoperatoren haben die Bedingungszahl begrenzt, wenn sie in Wavelet-Basen ausgedrückt und mit Jacobi vorkonditioniert wurden (daher konvergieren Krylov-Methoden in einer konstanten Anzahl von Iterationen, die von der Auflösung unabhängig sind). Dies hängt mit den hierarchischen Mehrgittermethoden von Yserentant (1984), Bank, Dupont und Yserentant (1988) und anderen zusammen. Beachten Sie, dass multiplikative Multigrid-Methoden gegenüber additiven Methoden überlegene Konvergenzeigenschaften aufweisen. Ein Standard-Mehrgitter-V-Zyklus entspricht im Wesentlichen dem symmetrischen Standard-Gauß-Seidel auf Wavelet-Basis mit der üblichen Reihenfolge. Beachten Sie, dass dies selten der beste Weg ist, insbesondere parallel zu implementieren.

Calederon-Zygmund-Operatoren und Pseudo-Differential-Operatoren sind in Wavelet-Basen spärlich. Somit können viele Probleme, für die Matrizen mit kompakten Basen nützlich sind, elegant unter Verwendung von Wavelet-Basen behandelt werden.$\mathcal H$

Differentialoperatoren sind in Wavelet-Basen relativ teuer zu bewerten, und es kann schwierig sein, die gewünschten Konservierungseigenschaften festzulegen. Einige Autoren (z. B. Vasilyev, Paolucci und Sen 1995) greifen auf Kollokationsmethoden zurück und verwenden Finite-Differenzen-Schablonen, um Derivate und nichtlineare Terme zu bewerten. Wenn die Wavelet-Expansion blockiert ist (normalerweise gut für die Berechnungseffizienz), werden diese Methoden der blockstrukturierten AMR sehr ähnlich.

Ich empfehle Beylkin und Keiser (1997) als praktische Einführung in die Lösung von PDEs mit Wavelets. Der MADNESS- Code basiert auf diesen Methoden. Eingetauchte Grenzen werden unterstützt (siehe Reuter, Hill und Harrison 2011 ), es gibt jedoch keine effiziente Möglichkeit, Grenzflächen in komplizierter Geometrie darzustellen. Die Software wird häufig für Chemieprobleme verwendet, bei denen die Geometrie keine Rolle spielt.

Für die allgemeine numerische Analyse von Wavelets schlage ich das Buch von Cohen aus dem Jahr 2003 vor . Es stellt ein Analyserahmenwerk vor, in dem die Kontinuumslösung so lange manipuliert wird, bis Sie sie mit einer bestimmten Genauigkeit bewerten möchten. An diesem Punkt wird die Wavelet-Basis nach Bedarf bewertet.