Wie löst der MATLAB-Backslash-Operator

Ich habe einige meiner Codes mit MATLAB-Codes "auf Lager" verglichen. Ich bin überrascht über das Ergebnis.

Ich habe einen Beispielcode ausgeführt (Sparse Matrix)

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Ergebnisse :

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

Für dichte Matrix:

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Ergebnisse:

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

Wie zum Teufel ist a \ b so toll?

In Matlab ruft der Befehl '\' einen Algorithmus auf, der von der Struktur der Matrix A abhängt und Überprüfungen (geringer Overhead) der Eigenschaften von A enthält.

1. Wenn A dünn und gebändert ist, verwenden Sie einen gebänderten Solver.
2. Wenn A eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist, verwenden Sie einen Rückwärtssubstitutionsalgorithmus.
3. Wenn A symmetrisch ist und echte positive diagonale Elemente aufweist, versuchen Sie eine Cholesky-Faktorisierung. Wenn A spärlich ist, führen Sie zuerst eine Neuordnung durch, um das Ausfüllen zu minimieren.
4. Wenn keines der oben genannten Kriterien erfüllt ist, führen Sie eine allgemeine Dreiecksfaktorisierung unter Verwendung der Gaußschen Eliminierung mit teilweisem Schwenken durch.
5. Wenn A dünn ist, verwenden Sie die UMFPACK-Bibliothek.
6. Wenn A nicht quadratisch ist, wenden Sie Algorithmen an, die auf der QR-Faktorisierung für unbestimmte Systeme basieren.

Um den Overhead zu reduzieren, können Sie den Befehl linsolve in Matlab verwenden und selbst einen geeigneten Löser aus diesen Optionen auswählen.

Wenn Sie sehen möchten, was a\bfür Ihre spezielle Matrix funktioniert, können Sie genau festlegen spparms('spumoni',1)und herausfinden, von welchem ​​Algorithmus Sie beeindruckt waren. Beispielsweise:

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

wird ausgegeben

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

Ich kann also sehen, dass "\" in diesem Fall "CHOLMOD" verwendet.

Für dünne Matrizen verwendet Matlab UMFPACK für die "\ Operation ", die in Ihrem Beispiel im Wesentlichen die Werte von durchläuft a, sie invertiert und mit den Werten von multipliziert b. Für dieses Beispiel sollten Sie jedoch verwendenb./diag(a) , was viel schneller ist.

Bei dichten Systemen ist der Backslash-Operator etwas komplizierter. Eine kurze Beschreibung dessen, was wann getan wird, finden Sie hier . Gemäß dieser Beschreibung würde Matlab in Ihrem Beispiel a\bdurch Rückwärtssubstitution lösen . Für allgemeine Quadratmatrizen wird eine LU-Zerlegung verwendet.

Als Faustregel gilt, wenn Sie eine spärliche Matrix mit angemessener Komplexität haben (dh, es muss sich nicht um die 5-Punkt-Schablone handeln, sondern es kann sich tatsächlich um eine Diskretisierung der Stokes-Gleichungen handeln, für die die Anzahl der Nichtzeros pro Zeile gilt viel größer als 5), dann schlägt ein spärlicher direkter Löser wie UMFPACK normalerweise einen iterativen Krylov-Löser, wenn das Problem nicht größer als etwa 100.000 Unbekannte ist.

Mit anderen Worten, für die meisten spärlichen Matrizen, die aus 2D-Diskretisierungen resultieren, ist ein direkter Löser die schnellste Alternative. Nur bei 3D-Problemen, bei denen Sie schnell über 100.000 Unbekannte erreichen, muss ein iterativer Löser verwendet werden.