Wie funktioniert die Notation?

Quantenalgorithmen verwenden in ihrer Beschreibung häufig die Bracket-Notation. Was bedeuten all diese Klammern und vertikalen Linien? Zum Beispiel:$|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Während dies wohl eine Frage der Mathematik ist, scheint diese Art der Notation häufig zu verwendet zu werden, wenn es speziell um Quantenberechnung geht. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es jemals in einem anderen Kontext gesehen habe.

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Mit dem letzten Teil meine ich, dass es möglich ist, Vektoren und innere Produkte unter Verwendung der Standardnotation für die lineare Algebra zu bezeichnen, und dass einige andere Felder, die diese Objekte und Operatoren verwenden, dies ohne die Verwendung der Bracket-Notation tun.

Dies lässt mich zu dem Schluss kommen, dass es einen Unterschied / Grund gibt, warum Bra-ket besonders nützlich ist, um Quantenalgorithmen zu bezeichnen. Es ist keine Tatsachenbehauptung, ich habe es als Beobachtung gemeint. "Ich bin nicht sicher, ob ich es woanders verwendet gesehen habe" ist nicht die gleiche Aussage wie "Es wird in keinem anderen Kontext verwendet".

Wie bereits von anderen erklärt, ein Ket $\left|\psi\right>$ ist nur ein Vektor. Ein BH $\left<\psi\right|$ist das hermitische Konjugat des Vektors. Sie können einen Vektor wie gewohnt mit einer Zahl multiplizieren.

Jetzt kommt der spaßige Teil: Sie können das Skalarprodukt von zwei Vektoren schreiben $\left|\psi\right>$ und $\left|\phi\right>$ als $\left<\phi\middle|\psi\right>$ .

Sie können einen Operator auf den Vektor gelten (in endlichen Dimensionen ist dies nur eine Matrixmultiplikation) $X\left|\psi\right>$ .

Insgesamt ist die Notation sehr handlich und intuitiv. Weitere Informationen finden Sie im Wikipedia-Artikel oder in einem Lehrbuch zur Quantenmechanik.

Sie könnten an denken 0 ⟩ und | 1 ⟩ als zwei Orthonormalbasis Zustände eines (durch „Ket“ s dargestellt) Quanten Bit welche besteht in einem zweidimensionalen komplexen Vektorraum. Die Linien und Klammern, die Sie sehen, sind im Grunde genommen die in der Quantenmechanik gebräuchliche Bracket-Notation, auch Dirac-Notation genannt .$|0\rangle$$|1\rangle$

Als Beispiel könnte die Spin-down - Zustand eines Elektrons darstellen , während | 1 ⟩ könnte den Spin-up - Zustand darstellen. Tatsächlich kann sich das Elektron jedoch in einer linearen Überlagerung dieser beiden Zustände befinden, dh | & psgr; ⟩ Elektron = a | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ (dies ist in der Regel wie normalisiert ein | 0 ⟩ + b | 1 $|0\rangle$$|1\rangle$$|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ ) wobeia,b∈C ist.$\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$$a,b\in \Bbb{C}$

Was bedeuten all diese Klammern und vertikalen Linien?

Die Notation Mittel genau das gleiche wie → v oder v , dh er bezeichnet einen Vektor , dessen Name „v“. Das ist es. Es gibt überhaupt kein Geheimnis und keine Magie mehr. Das Symbol | & psgr; ⟩ bezeichnet einen Vektor „psi“ bezeichnet.$\left \lvert v \right \rangle$$\vec{v}$$\textbf{v}$$\left \lvert \psi \right \rangle$

Das Symbol ist ein „ket“ genannt, aber es könnte genauso gut (und meiner Meinung nach sollte) ein „Vektor“ mit absolut keinen Bedeutungsverlust überhaupt bezeichnet werden.$\left \lvert \cdot \right \rangle$

Während dies wohl eine Frage der Mathematik ist, scheint diese Art der Notation häufig zu verwendet zu werden, wenn es speziell um Quantenberechnung geht. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es jemals in einem anderen Kontext gesehen habe.

Die Notation wurde von einem Physiker ( Paul Dirac ) erfunden und heißt "Dirac-Notation" oder "Bra-ket-Notation" . Soweit ich weiß, hat Dirac es wahrscheinlich während des Studiums der Quantenmechanik erfunden. In der Vergangenheit wurde die Notation daher hauptsächlich verwendet, um die Vektoren zu bezeichnen, die in der Quantenmechanik auftreten, dh Quantenzustände. Die Bracket-Notation ist der Standard in jedem Kontext der Quantenmechanik, nicht nur die Quantenberechnung. Beispielsweise wird die Schrödinger-Gleichung , die mit Dynamik in Quantensystemen zu tun hat und der Quantenberechnung um Jahrzehnte vorausgeht, in der Bracket-Notation geschrieben.

Darüber hinaus ist die Notation in anderen linearen Algebra-Kontexten recht praktisch und wird außerhalb der Quantenmechanik verwendet.

Dies lässt mich zu dem Schluss kommen, dass es einen Unterschied / Grund gibt, warum Bra-ket besonders nützlich ist, um Quantenalgorithmen zu bezeichnen.

Es gibt bereits eine akzeptierte Antwort und eine Antwort, die "Ket", "BH" und die Skalarproduktnotation erklärt.

Ich werde versuchen, dem markierten Eintrag etwas mehr hinzuzufügen. Was macht es zu einer nützlichen Notation?

Das erste, wofür die Bra-ket-Notation wirklich häufig verwendet wird, ist die sehr einfache Bezeichnung der Eigenvektoren eines (normalerweise hermitischen) Operators, der mit einem Eigenwert assoziiert ist. Angenommen, wir haben eine Eigenwertgleichung , die als A | bezeichnet werden kann & lgr; ⟩ = & lgr; | & lgr; ⟩ , und wahrscheinlich einige zusätzliche Etikett k , wenn es eine Entartung ist A | λ , k ⟩ = λ | λ , k ⟩ .$A(v)=\lambda v$$A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$$k$$A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Sie sehen, dass dies in der gesamten Quantenmechanik angewendet wird. Momentum-Eigenzustände werden tendenziell als oder | → p ⟩ abhängig von Einheiten oder mit mehreren Teilchenzustände | → p 1 , → p 2 , → p 3 … ⟩ ; darstellung der berufsnummern für das bose - und fermi - system viele körpersysteme n 1 , n 2 , … ⟩ ; ein Spin-Halbteilchen, das die Eigenzustände üblicherweise der S $\left|\vec{k}\right\rangle$$\left|\vec{p}\right\rangle$$\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$$\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$$S_z$Operator, manchmal geschrieben als Und | - ⟩ oder | $\left|+\right\rangle$$\left|-\right\rangle$ Und | $\left|\uparrow\,\right\rangle$$\left|\downarrow\,\right\rangle$, etc as shorthand for $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$; spherical harmonics as eigenfunctions of the $L^2$ and $L_z$ functions are conveniently written as $\left|l,m\right\rangle$ with $l=0,1,2,\ldots$ and $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

So convenience of notation is one thing, but there's also a kind of 'lego' feeling to algebraic manipulations with dirac notation, take for instance the $S_x$ spin half operator in dirac notation as $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$, acting on a state like $\left|\uparrow\right\rangle$ one simply does

$$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$$

since $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ and $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$.

What makes it handy for quantum algorithms?

Say we have a suitable two level system for a qubit; this forms a two dimensional complex vector space $V$ say whose basis is denoted as $\left|0\right\rangle$ and $\left|1\right\rangle$. When we consider say $n$ qubits of this form, the states of the system live in a bigger space the tensor product space, $V^{\otimes n}$. Dirac notation can be rather handy here, the basis states will be labelled by strings of ones and zeros and one usually denotes a state e.g. $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$, and say we have a bit flip operator $X_i$ which interchanges $1\leftrightarrow 0$ on the $i$'th bit, this can act rather simply on the above strings e.g. $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$, and taking a sum of operators or acting on a superposition of states works just as simply.

Slight caution: a state written as $\left|a,b\right\rangle$ doesn't always mean $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$, for instance when you have two identical fermions with wave functions say $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ and $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$, with labels indexing some basis set, then one might write the slater determinant state of the fermions

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$$ in a shorthand as $\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$ or even $\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$.

The ket notation $|\psi\rangle$ means a vector in whatever vector space we're working in, such as the space of all complex linear combinations of the eight 3-bit strings $000$, $001$, $010$, etc., as we might use to represent the states of a quantum computer. Unadorned $\psi$ means exactly the same thing—the $|\psi\rangle$ ket notation is useful partly to emphasize that, for example, $|010\rangle$ is an element of the vector space of interest, and partly for its cuteness in combination with the bra notation.

The bra notation $\langle\psi|$ means the dual vector or covector—a linear functional, or linear map from vectors to scalars, whose value at a vector $|\phi\rangle$ is the inner product of $\psi$ with $\phi$, cutely written $\langle\psi|\phi\rangle$. Here we assume the existence of an inner product, which is not a given in arbitrary vector spaces, but in quantum physics we usually work in Hilbert spaces which by definition have an inner product. The dual of a vector is sometimes also called its (Hermitian) transpose, because in matrix representation, a vector corresponds to a column and a covector corresponds to a row, and when you multiply $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ you get a scalar. (The Hermitian part means in addition to transposing the matrix, we take the complex conjugate of its entries—which is really just further transposing the matrix representation $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ of the complex number $a + b i$.)

When written the other way, $|\psi\rangle\langle\phi|$, you get the outer product of $\psi$ with $\phi$, defined to be the linear transformation of the vector space to itself given by $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$. That is, given a vector $\theta$, it scales the vector $\psi$ by the scalar given by the inner product $\langle\phi|\theta\rangle$. Since the operations in question are associative, we can remove the parentheses and unambiguously write

$$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$$ The operations involved are not commutative in general, however: reversing the order yields the complex conjugate$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$, replacing $a + b i$ by $a - b i$. There may be other transformations of the spaces involved thrown in the mix too, like $\langle\psi|A|\phi\rangle$, which can be read equivalently as the precomposition of the linear functional $\langle\psi|$ by the linear transformation $A$, applied to the vector $|\phi\rangle$, or as the evaluation of the linear functional $\langle\psi|$ at the vector obtained by transforming $|\phi\rangle$ by the linear transformation $A$.

The notation is used mainly in quantum physics; mathematicians tend to just write $\psi$ where physicists might write $|\psi\rangle$; $\psi^*$ for the covector $\langle\psi|$; either $\langle\psi,\phi\rangle$ or $\psi^*\phi$ for the inner product; and $\psi^*A\phi$ for what physicists would notate by $\langle\psi|A|\phi\rangle$.