Wie man Quantenschaltungen von Grund auf neu erstellt

Im Moment lerne ich selbst, hauptsächlich mit dem Buch: Quantum Computing a Gentle Introduction von Eleanor Rieffel und Wolfgang Polak.

Das Durcharbeiten der früheren Kapitel und Übungen verlief recht gut (zum Glück gab es in den früheren Kapiteln viele Beispiele), aber ich blieb beim 5. Kapitel über Quantenschaltungen hängen. Obwohl ich die Konzepte der Autoren verstehe, möglicherweise aufgrund fehlender Beispiele, habe ich Probleme, diese Konzepte auf die Übungen anzuwenden.

Die Übungen, mit denen ich Probleme habe (und für die ich keine Lösung oder gründliche / einführende Erklärung finden kann), sind die folgenden:

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Fragen:

Entwerfen Sie eine Schaltung zum Erstellen von: von$\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$$\left| 0 \dots 000 \right>$

Und entwerfen Sie eine Schaltung zum Erstellen des "Hardy-Zustands": $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

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Kann mich jemand in die richtige Richtung weisen oder mich auf Literatur / Tutorials verweisen, damit ich diese Art von Übungen besser verstehen kann?

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Vielleicht eine verwandte Frage: Tipps und Tricks zum Aufbau von Schaltkreisen zur Erzeugung beliebiger Quantenzustände

Wie DaftWullie wies darauf hin, die Frage nach hat eine ausgezeichnete Sammlung von Antworten hier .$W_n$

Für die Hardy-Statusfrage (und viele andere ähnliche Aufgaben) können Sie wie folgt vorgehen.

• Beginnen Sie mit dem Status .$|0...0\rangle$
• Beginnen Sie, indem Sie das erste Qubit "in den richtigen Zustand" versetzen. Dies ist ein Zustand , wobei und sind die relativen Gewichte aller Basiszustände, die mit 0 bzw. mit 1 beginnen. Speziell für den Hardy-Zustand beginnen zwei Basiszustände mit 0: und zwei Basiszustände beginnen mit 1: ; Ihre relativen Gewichte sind nur die Quadratsummen ihrer Amplituden: und$(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$$\alpha$$\beta$$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$, beziehungsweise. So werden Sie das erste Qubit in den Zustand versetzen müssen mit Tor.$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$$R_y$
• Sie fort, indem Sie das zweite Qubit in den richtigen Zustand kontrollierte Gatter mit dem ersten Qubit als Steuerung anwenden . Um die ersten beiden Begriffe richtig zu machen, müssen Sie den Begriff in den Begriff konvertieren , was dem Konvertieren des Normalzustands in ohne den Status (beachten Sie die Renormierung beim Wechsel von Begriffen eines größeren Ausdrucks zu eigenständigen Zuständen!) Dazu können Sie ein 0-gesteuertes$R_y$$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$|0\rangle \otimes |0\rangle$$\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$$|1\rangle \otimes |0\rangle$$R_y$ mit dem ersten Qubit als Kontrolle und dem zweiten Qubit als Ziel.
• Wenn Sie mehr Qubits haben, setzen Sie dies fort und verwenden mehr Kontroll-Qubits, um Ihre Rotationen immer spezifischer zu gestalten.

Sie können dieses Papier von Shende, Bullock und Markov sehen, wenn Sie eine formellere und weniger ad-hoc Erklärung wünschen.

Sie können Probleme beim Produzieren eines Zustands vereinfachen, indem Sie sie in drei Teile aufteilen:

1. Bereiten Sie die Sammlung der benötigten Größen vor, ohne sich Gedanken über die Phase zu machen oder darüber, welcher Zustand welche Größe hat.
2. Fixiere die Phasen.
3. Korrigieren Sie die Bestellung.

Betrachten Sie nun den Hardy-Zustand. Was sind die Größen, die wir machen müssen? Wir benötigen eine Instanz von und drei Instanzen von . Wir können sie einzeln erstellen, indem wir einen Zustand "verbleibender Amplitude" haben, von dem wir uns immer wieder trennen.$3/\sqrt{12}$$1/\sqrt{12}$

Wir beginnen mit der gesamten Amplitude in einem Zustand mit einer Anregung auf der linken Seite, wobei . Wir wollen die Anregung nach rechts bewegen und dabei die gewünschten Größen zurücklassen. Zu Beginn wollen wir also die Größe hinter uns lassen . Wir können dies mit einer gesteuerten , bei der die Steuerung das Qubit ganz links und das Ziel das Qubit ganz rechts ist. Wenn Sie genau den richtigen Wert für , wird der Status . Wir CNOT dann das zweite Qubit zurück auf das erste Qubit, um zu$\ell_0 |1000...00\rangle$$\ell_0=1$$3/\sqrt{12}$$R_y(\theta_0)$$\theta$$3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. Als nächstes wollen wir abziehen . Wir führen ein weiteres durch, das vom Qubit ganz links gesteuert wird, gefolgt von einem CNOT rückwärts, aber diesmal mit dem Ziel ist das Qubit das dritte von links. Durch Auswahl des perfekten erzeugen wir den Zustand . Und Sie tun dies einfach so lange, bis Sie alle Amplituden haben, die Sie benötigen, und zwar bequem, indem einzelne Qubits erregt werden.$1/\sqrt{12}$$R_y$$\theta_1$$\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$

Jetzt möchten Sie alle falschen Phasen beheben, die durch die Y-Rotationen erzeugt werden. Für den Hardy-Zustand ist dies einfach, da alle Phasen positiv sind. Im Allgemeinen zielen Sie auf jede Qubit-Position mit einer mit entsprechend ausgewählten Werten, und das macht die Phasen richtig.$k$$R_z(\phi_k)$$\phi_k$

Jetzt wollen wir die Bestellung richtig machen. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, einige zusätzliche Qubits zu haben, die Ihre Ausgabe-Qubits sind, und für jedes der bisher vorbereiteten Qubits und jedes der Ausgabe-Qubits entweder einen CNOT zwischen den beiden hinzuzufügen oder nicht. Wenn zum Beispiel der Zustand mit der Amplitude ein -Rangle sein soll, müssen wir von unserem Qubit ganz links auf beide Ausgangs-Qubits CNOT. Dann müssen wir das Qubit ganz links mit einer vielfach kontrollierten NOT-Operation entrechnen. Für jedes Ausgangs-Qubit sollte ein Steuerelement vorhanden sein, und der Typ des Steuerelements (Qubit muss aktiviert sein oder Qubit muss ausgeschaltet sein) hängt davon ab, ob Sie das Qubit umgeschaltet haben oder nicht.$3/\sqrt{12}$$|11\rangle$

Das Anwenden dieser Schritte erzeugt eine ineffiziente, aber korrekte Schaltung zum Erstellen eines Hardy-Zustands. Sie können den Stromkreis in Quirk öffnen :

Wenn Sie einen Status erstellen möchten, ohne so viel Arbeitsbereich zu verwenden, wird die Aufgabe schwieriger. Sie können jedoch weiterhin den Größen, Phasen und Ordnungsmustern folgen. Es gibt auch cleverere Möglichkeiten, Magnitudensätze mit schönen Mustern vorzubereiten. Wenn sich beispielsweise nur eine Amplitude von den anderen unterscheidet, kann eine Runde der Teilamplitudenverstärkung ausreichen, um den Zustand vorzubereiten.