Warum wird ein verwickeltes Qubit am Ursprung einer Bloch-Kugel gezeigt?

Ich bin mir nicht sicher, warum die Bloch-Kugeldarstellung eines maximal verschränkten Qubits den Zustand des Bits als Ursprung der Kugel anzeigt.

Zum Beispiel diese Abbildung

zeigt die Wirkung der einfachen Schaltung

im Laufe der Zeit mit $q_0$ links und $q_1$ rechts. Beide Qubits landen nach Anwendung von $CNOT$ am Ursprung ihrer jeweiligen Kugeln ( $q_1$ "wartet" auf seinen Anfangswert, bis $H$ $q_1$ nach $x$ bewegt ).

Warum wird ein maximal verschränktes Qubit am Ursprung einer Bloch-Kugel angezeigt?

Eine Art Erklärung wird hier gegeben , aber ich bin zu ein Anfänger, um ihr zu folgen.

entanglement bloch-sphere

— orome
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Dies ist eine gute Frage mit guten Antworten. Zum Verständnis der Antworten ist ein partieller Spuren- und Dichtematrixformalismus erforderlich. Ohne diese Tools können wir nur die flachste Beschreibung der Vorgänge liefern.

— Psitae

Antworten:

Die Bloch-Kugel repräsentiert nur den Zustand eines einzelnen Qubits. Sie sprechen von einem Multi-Qubit-Zustand, der den Zustand nur eines dieser Qubits auf der Bloch-Kugel darstellt.

Wenn der Multi-Qubit-Zustand ein Produktzustand ist (rein und trennbar), ist der Zustand des einzelnen Qubits ein reiner Zustand und wird als Punkt auf der Oberfläche der Bloch-Kugel dargestellt. Wenn der Gesamtzustand verwickelt ist, ist das einzelne Qubit nicht rein und wird durch einen Punkt dargestellt, der sich im Inneren der Bloch-Kugel befindet. Je kürzer der Abstand zum Zentrum ist, desto gemischter ist das einzelne Qubit und desto verwickelter ist der globale Zustand. Der maximal verschränkte Zustand ergibt den kürzestmöglichen Abstand, dh den Punkt genau in der Mitte der Kugel. Die Antwort von AHussain gibt Ihnen die Mathematik, wie Sie das formal berechnen können.

— DaftWullie
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Diese Antworten sind hilfreich, aber nicht ganz auf der Ebene, die ich suche. Dies ist sowohl sehr einfach (Dichteoperatoren machen mich immer noch ein bisschen mulmig) als auch auf höherer Ebene, nämlich: Warum Verschränkung als Abstand vom Mittelpunkt der Kugel darstellen ? Gibt es einen natürlichen oder zwingenden Grund dafür? folgt es aus etwas anderem, das gut etabliert oder grundlegend ist?

— Orome

Lassen Sie mich wiederholen, dass die Bloch-Sphäre keine Verstrickung darstellt. Es repräsentiert den Zustand eines Qubits. Wenn dieses eine Qubit Teil eines reinen Zwei-Qubit-Zustands ist, ist das Ausmaß, in dem sich ein Qubit nicht in einem Produktzustand befindet, das Ausmaß, in dem es verwickelt ist. Grundsätzlich ist dies jedoch eine Eigenschaft von Dichteoperatoren für einzelne Qubits. Sie können sich nicht davor verstecken.

— DaftWullie

Hier ist das Entscheidende, denke ich: "Dann ist das Ausmaß, in dem sich ein Qubit nicht in einem Produktzustand befindet, das Ausmaß, in dem es verwickelt ist". Das liefert das Rationale, nach dem ich gesucht habe.

— Orome

$(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Der mit diesem Punkt verknüpfte Status ist

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

$(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - i 0 \\ 0 + i 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ist der maximal gemischte Zustand.

Was gezeigt wird, ist der Zustand für nur 1 Qubit. Dies ist das Ergebnis, nachdem eine teilweise Spur über das andere Qubit gezogen wurde.

$q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Dann geht es zu

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Aber nach dem CNOT ist es

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$ oder mehr Qubits. Nehmen Sie diese spezielle Parametrisierung nicht zu ernst, sie ermöglicht es uns lediglich, den Zustand so darzustellen, dass die Informationen schnell visuell vermittelt werden.

— AHusain
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Siehe meinen Kommentar zu DaftWullies Antwort.

— Orome

Bearbeitet, um zu sagen, dass es nicht grundlegend ist.

— AHusain

Sie sagen, dass dies für d ≠ 2 nicht so gut funktioniert, aber die Visualisierung scheint immer noch häufig für größere Dimensionen verwendet zu werden .

— Orome

Was sie tun, ist wie diese Schaltung, sie zeigen jedes Qubit, nachdem sie die anderen aufgespürt haben. Genau wie bei dieser Schaltung mit 2 Kugeln. Was ich gesagt habe, ist der Versuch, d mal d Dichtematrizen für das gesamte System zu visualisieren. Sie werden zu groß und kompliziert zum Zeichnen.

— AHusain