Kann die Bloch-Sphäre auf zwei Qubits verallgemeinert werden?

Die Bloch-Kugel ist eine schöne Visualisierung einzelner Qubit-Zustände. Mathematisch kann es mittels einer hochdimensionalen Hypersphäre auf eine beliebige Anzahl von Qubits verallgemeinert werden. Aber solche Dinge sind nicht leicht zu visualisieren.

Welche Versuche wurden unternommen, um Visualisierungen basierend auf der Bloch-Kugel auf zwei Qubits zu erweitern?

Für reine Zustände gibt es einen relativ einfachen Weg, eine "2-Qubit-Bloch-Kugel" herzustellen . Grundsätzlich verwenden Sie die Schmidt-Zerlegung, um Ihren Zustand in zwei Fälle zu unterteilen: nicht verwickelt und vollständig verwickelt. Für den nicht verwickelten Teil verwenden Sie nur zwei Blochkugeln. Und dann ist der verwickelte Teil isomorph zu der Menge möglicher Rotationen im 3D-Raum (die Rotation ist, wie Sie Messungen auf einem Qubit in Vorhersagen auf dem anderen Qubit übersetzen). Dies gibt Ihnen eine Darstellung mit acht realen Parametern:

1) Ein realer Wert w zwischen 0 und 1, der das Gewicht von nicht verwickelt und vollständig verwickelt angibt.

2 + 3) Der nicht verwickelte Unit-Bloch-Vektor für Qubit 1.

4 + 5) Der nicht verwickelte Unit-Bloch-Vektor für Qubit 2.

6 + 7 + 8) Die vollständig verwickelte Rotation.

So sieht es aus, wenn Sie den Rotationsteil als "wo XY- und Z-Achsen zugeordnet werden" anzeigen und die Achsen zusätzlich um w skalieren, sodass sie umso größer werden, je verwickelter Sie sind:

(Das Abprallen in der Mitte ist auf eine numerische Entartung in meinem Code zurückzuführen.)

Für gemischte Zustände hatte ich ein wenig Erfolg damit, die für Qubit 2 vorhergesagte Hüllkurve der Blochvektoren bei jeder möglichen Messung von Qubit 1 zu zeigen. Das sieht so aus:

Beachten Sie jedoch, dass a) diese "Hüllkurvendarstellung" nicht symmetrisch ist (einer der Qubits ist das Steuerelement und der andere das Ziel) und b) obwohl sie hübsch aussieht, nicht algebraisch kompakt ist.

Diese Anzeige ist im alternativen Dev-Entanglement-Display- Zweig von Quirk verfügbar . Wenn Sie den Bauanweisungen folgen können, können Sie direkt damit spielen.

Da eine irreduzible Spin Darstellung von eine Dimension ( ist eine halbe ganze Zahl), kann jeder endlich dimensionale Hilbert-Raum als Darstellungsraum von . Da alle irreduziblen Repräsentationen von symmetrische Tensorprodukte der fundamentalen Spinorrepräsentation sind, kann darüber hinaus jeder endlich dimensionale Hilbert-Raum als symmetrisches Tensorprodukt von fundamentalen -repräsentationsräumen betrachtet werden.$j$$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$

Dies ist die Grundlage für die Konstruktion der Sterndarstellung von Majorana. Ein Zustand eines Qudits, der in einem Hilbert-Raum der Dimension lebt, kann durch Punkte auf der Bloch-Kugel dargestellt werden. Der Zustandsvektor kann aus den (2-dimensionalen) Spinvektoren der Punkte durch ein symmetrisiertes Tensorprodukt rekonstruiert werden.$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$

Eine Anwendung dieser Darstellung auf die Quantenberechnung besteht in der Visualisierung der Trajektorien, die geometrische Phasen hervorrufen, die als Tore für die holonome Quantenberechnung dienen. Diese Trajektorien werden als Trajektorien der Majorana-Sterne auf den Bloch-Kugeln reflektiert, und die geometrischen Phasen können aus den von diesen Trajektorien eingeschlossenen Raumwinkeln berechnet werden. Bitte sehen Sie sich die Arbeiten von Liu und Fu zu abelschen geometrischen Phasen an. Eine Behandlung einiger nicht-abelianischer Fälle wird von Liu Roy und Stone gegeben .

Lassen Sie mich abschließend bemerken, dass es viele geometrische Darstellungen gibt, die für die Quantenberechnung relevant sind, die jedoch mehrdimensional sind und sich im Allgemeinen nicht als Visualisierungswerkzeuge eignen. Wir sehen uns zum Beispiel Bernatska und Holod bei der Behandlung von Coadjoint-Bahnen an, die als Phasenräume der bei der Quantenberechnung verwendeten endlichdimensionalen Hilbert-Räume dienen können. Der Grassmann-Operator, der die Grundzustandsvielfalt adiabatischer Quanten-Hamilton-Operatoren parametrisiert, ist ein besonderes Beispiel für diese Räume.

Für mehr als 1-Qubit-Visualisierungen benötigen wir komplexere Visualisierungen als eine Bloch-Kugel. Die folgende Antwort von Physics Stack Exchange erklärt dieses Konzept recht maßgeblich:

Blochkugel für 2 und mehr Qubits

In einem anderen Artikel wird die Zwei-Qubit-Darstellung als sieben-dimensionale Kugel S 7 beschrieben, die auch eine Hopf-Fibrierung mit S 3 -Fasern und einer S 4 -Basis ermöglicht. Das auffälligste Ergebnis ist, dass geeignet orientierte S 7 Hopf-Fibrationen verwicklungsempfindlich sind.

Geometrie verschränkter Zustände, Bloch-Kugeln und Hopf-Fibrationen

Trotzdem ist ein auf Bloch-Sphären basierender Ansatz sehr nützlich, um das Verhalten von Qubits in einer lauten Umgebung zu modellieren. Das Zwei-Qubit-System wurde unter Verwendung des verallgemeinerten Bloch-Vektors analysiert, um verfolgbare analytische Gleichungen für die Dynamik der vierstufigen Bloch-Vektoren zu erzeugen. Dies basiert auf der Anwendung geometrischer Konzepte aus der bekannten zweistufigen Blochkugel.

Wir können feststellen, dass bei Vorhandensein von korreliertem oder antikorreliertem Rauschen die Dekohärenzrate sehr empfindlich auf den ursprünglichen Zwei-Qubit-Zustand sowie auf die Symmetrie des Hamilton-Zustands reagiert. In Ermangelung einer Symmetrie im Hamilton-Operator wirken sich Korrelationen nur schwach auf die Dekohärenzrate aus:

Bloch-Kugel-Ansatz für korreliertes Rauschen in gekoppelten Qubits

Es gibt einen weiteren interessanten Forschungsartikel zur Darstellung des Zwei-Qubit-Reinzustands, der durch drei Einheits-Zwei-Kugeln und einen Phasenfaktor parametrisiert ist. Für trennbare Zustände sind zwei der drei Einheits-Kugeln die Bloch-Kugeln jedes Qubits mit Koordinaten (A , A) und (B, B). Die dritte Sphäre parametrisiert den Grad und die Phase der Übereinstimmung, ein Verschränkungsmaß.

Diese Kugel kann als "variable" komplexe imaginäre Einheit t betrachtet werden, bei der die stereografische Projektion die Qubit-A-Bloch-Kugel mit dieser variablen imaginären Einheit auf eine komplexe Ebene abbildet. Dieses Bloch-Sphärenmodell liefert eine konsistente Beschreibung der reinen Zwei-Qubit-Zustände sowohl für trennbare als auch für verschränkte Zustände.

Gemäß dieser Hypothese parametrisiert die dritte Kugel (Verschränkungskugel) die nichtlokalen Eigenschaften, die Verschränkung und eine nichtlokale relative Phase, während die lokalen relativen Phasen durch die Azimutwinkel A und B der beiden Quasi-Bloch-Kugeln parametrisiert werden.

Blochkugelmodell für zwei

Wir haben einige Multiqubit-Visualisierungen im Black Opal-Paket von Q-CTRL .

Alle diese Funktionen sind vollständig interaktiv und sollen Aufschluss über Korrelationen in interagierenden Zwei-Qubit-Systemen geben.

Die beiden Bloch-Kugeln repräsentieren die relevanten trennbaren Zustände zweier Qubits. Die Tetraeder in der Mitte erfassen visuell Korrelationen zwischen bestimmten Projektionen der beiden Qubits. Wenn es keine Verschränkung gibt, leben die Blochvektoren vollständig auf den Oberflächen der jeweiligen Kugeln. Ein vollständig verwickelter Zustand lebt jedoch ausschließlich im Korrelationsraum dieser Darstellung. Die Extrema dieser Räume sind immer maximal verschränkte Zustände wie Bell-Zustände, aber maximal verschränkte Zustände können sich auch gleichzeitig in mehreren Tetraedern befinden.

Zu diesem Thema wurde ein Artikel mit dem Titel "Bloch-Sphärenmodell für reine Zwei-Qubit-Zustände" veröffentlicht.

https://arxiv.org/abs/1403.8069