Geometrie von Qutrit- und Gell-Mann-Matrizen

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Ich brauche einige nützliche Quellen über die Geometrie von Qutrit. Speziell bezogen auf die Gell-Mann-Matrixdarstellung.

resource-request qutrit state-space-geometry

— Azadeh Zohrabi
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Hallo! Welche spezifischen Informationen suchen Sie über die Beziehung zwischen den Gell-Mann-Matrizen und der Geometrie von Qutriten? Wären Sie bereit, Ihre Frage ein wenig zu erweitern?

— Niel de Beaudrap

arxiv.org/abs/1501.00054 Seite 9. Wenn dies der Art von Sache entspricht, nach der Sie suchen, werde ich mehr erweitern.

— AHusain

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Es gibt viele Möglichkeiten, ein Qutrit- oder ein allgemeines Level-System geometrisch zu beschreiben. Es gibt auch eine große Anzahl von Referenzen, die diese Geometrien entweder erklären oder auf verschiedene Probleme in der Quanteninformation anwenden. Ich werde versuchen, hier eine ganz allgemeine geometrische Methode etwas detaillierter zu erklären. $N$

Diese Methode ist eine Verallgemeinerung der Bloch-Sphäre des Qubits. Der Qubit-Fall ist jedoch entartet, da die Bloch-Kugel den Parameterraum sowohl von reinen als auch von gemischten Qubits (aber nicht vom maximal gemischten Fall) beschreibt, während im allgemeinen Fall der Die Geometrie des Parameterraums hängt von der Entartungsstruktur der Eigenwerte der Dichtematrix ab.

Die Beschreibung basiert auf der Diagonalisierungsformel der Dichtematrix einer allgemeinen Level-Dichtematrix: Wobei die Eigenwertmatrix ist, die im allgemeinsten Fall die Form hat: $N$

ρ = U Λ U^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

Die Matrix

ist eine

dimensionale Einheitsmatrix, dh sie gehört zur

dimensionalen Einheitsgruppe

Λ = d i a g (\underset{N_{1} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$ .

Da wir eine Dichtematrix diagonalisieren, müssen wir natürlich haben:

\sum_{i = 1}^{k} N_{i} λ_{i} = 1 a n d λ_{i} \geq 0 f o r a l l i

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

\frac{U (N)}{U (N_{1}) \times U (N_{2}) \dots \times U (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$

d = N^{2} - \sum_{i} N_{i}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d i a g (1, 0, 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

C P^{2} = \frac{U (3)}{U (1) \times U (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

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$4$

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

Werden Sie klassische Hamiltonianer auf $\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{i}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{i} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{i})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

$\omega$ mit den oberen Indizes die inverse symplektische Form ist.

Diese Formulierung des Qutrit ermöglicht viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie, siehe zum Beispiel Hughston und Salamon , wo sie unter Verwendung dieser Parametrisierung ein SIC-POVM konstruieren.

A_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$ .

Eine sehr wichtige Eigenschaft der Parameterräume für den reinen Zustand besteht darin, dass die Messwahrscheinlichkeiten wie folgt geometrisch interpretiert werden: Die komplexen projektiven Räume, die die reinen Zustände parametrisieren, sind mit einer Metrik ausgestattet, die als bezeichnet wird $\mathbb{C}P^N$

$\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— David Bar Moshe
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ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

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@AHusain Danke für den Hinweis! und danke, dass Sie die Beziehung der Metrik zur Fisher-Informationsmatrix erwähnt haben. Tatsächlich ist die erste obige Gleichung für die KKS-Form identisch mit der Gleichung in ihrem Satz II.2. , ausgedrückt in komplexen Koordinaten. Wie bereits erwähnt, verwenden diese Autoren nicht dieselbe komplexe Parametrisierung. Sie arbeiten lieber am Tangentenraum. Dies ist möglich, da die Mannigfaltigkeit homogen ist, es ist jedoch schwierig, globale geometrische Größen wie das Volumen des Zustandsraums in ihrer Parametrisierung zu bewerten.

— David Bar Moshe

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Ja, es ist schwer. Die gleiche Mannigfaltigkeit mit der Fisher-Informationsstruktur anstelle der Kahler-Struktur ist viel hässlicher. Die Autoren dieses Papiers und ich haben versucht zu sehen, was der Unterschied zwischen den Berry-Phasen der beiden Strukturen ist, aber nichts Hübsches.

— AHusain

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I need some useful sources about the geometry of qutrit.

Die nützlichste Ressource, die ich über die Geometrien von Qutriten kenne, ist das Papier Geometrie der verallgemeinerten Bloch-Kugel für Qutriten .

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

Die acht Gell-Mann-Matrizen, die eine der Verallgemeinerungen von Pauli-Matrizen auf 3-Ebenen-Systeme bilden, sind an der sogenannten "Bloch-Darstellung eines Qutrits" beteiligt. Dies ist auf Seite 4 beschrieben des oben verlinkten Dokuments beschrieben.

Wenn Sie sich für die Mathematik der Geometrie von Qutrits interessieren, ist die oben genannte Ressource wahrscheinlich die beste verfügbare. Wenn Sie mehr an der Visualisierung von Qutrits interessiert sind, lesen Sie das Papier Dreidimensionale Visualisierung eines Qutrits die beste Ressource, die ich kenne. Beachten Sie, dass Verallgemeinerungen der Bloch-Kugel für höherdimensionale Qudits niemals so einfach und elegant sein werden wie die Bloch-Kugel für 2-Ebenen-Systeme, ebenso wie 4D-Hyperkugeln nicht so einfach zu visualisieren sind wie 3D-Kugeln.

— user1271772
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