Automatische Kompilierung von Quantenschaltungen

Eine kürzlich gestellte Frage stellte die Frage, wie das 4-Qubit-Gatter CCCZ (Controlled Controlled Controlled Z) in einfache 1-Qubit- und 2-Qubit-Gatter kompiliert werden kann. Die einzige Antwort, die bisher gegeben wurde, erfordert 63 Gatter !

Der erste Schritt war die Verwendung der C n U-Konstruktion von Nielsen & Chuang:$^n$

Mit $n=3$ bedeutet dies 4 CCNOT-Gatter und 3 einfache Gatter (1 CNOT und 2 Hadamards reichen aus, um die endgültige CZ auf dem Ziel-Qubit und dem letzten Arbeits-Qubit durchzuführen).

Satz 1 dieser Arbeit besagt, dass das CCNOT im Allgemeinen 9 Ein-Qubit- und 6 Zwei-Qubit-Gatter (insgesamt 15) benötigt:

Das heisst:

(4 CCNOTs) x (15 Tore pro CCNOT) + (1 CNOT) + (2 Hadamards) = 63 Gesamttore .

In einem Kommentar wurde vorgeschlagen, dass die 63 Tore dann unter Verwendung eines "automatischen Verfahrens", beispielsweise aus der Theorie der automatischen Gruppen, weiter kompiliert werden können .

Wie kann diese "automatische Kompilierung" durchgeführt werden, und um wie viel würde sich in diesem Fall die Anzahl der 1-Qubit- und 2-Qubit-Gatter verringern?

Sei $g_1 \cdots g_M$ das Grundgatter, das Sie benutzen dürfen. Für die Zwecke dieses $\operatorname{CNOT}_{12}$ und $\operatorname{CNOT}_{13}$ usw. als getrennt behandelt. So $M$ ist polynomiell abhängig von $n$ , der Anzahl von Qubits. Die genaue Abhängigkeit beinhaltet Details der Art der von Ihnen verwendeten Gatter und wie $k$ lokal sie sind. Wenn es zum Beispiel $x$ einzelne Qubit-Gatter und $y$ 2-Qubit-Gatter gibt, die nicht von der Ordnung wie $CZ$ abhängen, dann ist $M = xn+\binom{n}{2}y$.

Eine Schaltung ist dann ein Produkt dieser Generatoren in einer bestimmten Reihenfolge. Es gibt jedoch mehrere Schaltkreise, die nichts bewirken. Wie $\operatorname{CNOT}_{12} \operatorname{CNOT}_{12} = \mathrm{Id}$ . Also geben diese Beziehungen auf die Gruppe. Das heißt es ist eine Gruppenpräsentation $\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$ , wo es viele Beziehungendie wir nicht wissen.

Das Problem, das wir lösen möchten, erhält ein Wort in dieser Gruppe, das kürzeste Wort, das dasselbe Element darstellt. Für allgemeine Gruppenpräsentationen ist dies hoffnungslos. Die Art der Gruppenpräsentation, auf die dieses Problem zugegriffen werden kann, wird als automatisch bezeichnet.

Aber wir können ein einfacheres Problem betrachten. Wenn wir einen Teil von $g_i$ wegwerfen, erhalten die Wörter von vorher die Form $w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$ wobei jedes der $w_i$ nur Wörter in den verbleibenden Buchstaben sind. Wenn wir es geschafft haben, sie mit den Relationen zu verkürzen, an denen das $g_i$ nicht beteiligt ist , haben wir den gesamten Kreislauf verkürzt. Dies ist vergleichbar mit der Optimierung der CNOTs in der jeweils anderen Antwort.

Wenn es zum Beispiel sind drei Generatoren und das Wort ist $aababbacbbaba$ , aber wir wollen nicht behandeln $c$ , werden wir stattdessen verkürzen $w_1=aababba$ und $w_2=bbaba$ bis w 1 und w 2 . Wir stellen sie dann wieder zusammen als w 1 c$\hat{w}_1$$\hat{w}_2$$\hat{w}_1 c \hat{w}_2$ , und das ist eine Verkürzung des ursprünglichen Wortes.

So WLOG (ohne Beschränkung der Allgemeinheit), nehmen wir an , wir in diesem Problem sind bereits $\langle g_1 \cdots g_M \mid R_1 \cdots \rangle$ , wo wir jetzt alle Tore angegeben verwenden. Auch dies ist wahrscheinlich keine automatische Gruppe. Aber was ist, wenn wir einige der Beziehungen verwerfen? Dann werden wir eine weitere Gruppe haben, die eine Quotientenkarte hat, die derjenigen entspricht, die wir wirklich wollen.

Die Gruppe $\langle g_1 g_2 \mid - \rangle$ keine Beziehungen sind einefreie Gruppe, aber dannwenn Sie setzen$g_1^2=\mathrm{id}$ als eine Beziehung, erhalten Sie daskostenlose Produkt $\mathbb{Z}_2 \star \mathbb{Z}$ und es ist ein Quotient Karte aus dem ehemaligen zum späteren Reduzieren der Anzahl von$g_1$ 's in jedem Segment modulo$2$ .

Die Beziehungen, die wir herauswerfen, werden so sein, dass diejenige im Obergeschoss (die Quelle der Quotientenkarte) von Natur aus automatisch ist. Wenn wir nur die verbleibenden Relationen verwenden und das Wort verkürzen, wird es immer noch ein kürzeres Wort für die Quotientengruppe sein. Es ist einfach nicht optimal für die Quotientengruppe (das Ziel der Quotientenkarte), aber es hat die Länge$\leq$ der Länge, mit der es begonnen hat.

Das war die allgemeine Idee, wie können wir daraus einen bestimmten Algorithmus machen?

Wie wählen wir das $g_i$ und die Relationen aus, die verworfen werden sollen, um eine automatische Gruppe zu erhalten? Hier kommt das Wissen über die Arten von Elementartoren ins Spiel, die wir normalerweise verwenden. Es gibt viele Beteiligungen, also behalte nur diese. Achten Sie sorgfältig darauf, dass dies nur die elementaren Verschiebungen sind. Wenn Ihre Hardware Probleme hat, Qubits zu tauschen, die auf Ihrem Chip stark voneinander getrennt sind, bedeutet dies, dass Sie sie nur in diejenigen schreiben, die Sie leicht tun können, und dieses Wort auf diese reduzieren so kurz wie möglich sein.

Angenommen, Sie haben die IBM Konfiguration . Dann sind $s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34}$ die erlaubten Tore. Wenn Sie eine allgemeine Permutation durchführen möchten, zerlegen Sie sie in$s_{i,i+1}$ Faktoren. Das ist ein Wort in der Gruppe$\langle s_{01},s_{02},s_{12},s_{23},s_{24},s_{34} \mid R_1 \cdots \rangle$ das wir kürzen möchten.

Beachten Sie, dass dies nicht die Standard-Involutionen sein müssen. Sie können beispielsweise zusätzlich zu X auch $R(\theta) X R(\theta)^{-1}$ einwerfen . Denken Sie an die$X$ Gottesman-Knill-Theorem , aber auf abstrakte Weise bedeutet dies, dass es einfacher ist, es zu verallgemeinern. Verwenden Sie beispielsweise die Eigenschaft, dass Sie unter kurzen exakten Sequenzen, wenn Sie über endliche vollständige Umschreibungssysteme für beide Seiten verfügen, eines für die mittlere Gruppe erhalten. Dieser Kommentar ist für den Rest der Antwort nicht erforderlich, zeigt jedoch, wie Sie aus den in dieser Antwort enthaltenen Beispielen allgemeinere Beispiele erstellen können.

Die Beziehungen, die beibehalten werden, sind nur solche der Form $(g_i g_j)^{m_{ij}} = 1$ . Dies ergibt eine Coxeter-Gruppe und es erfolgt automatisch. Tatsächlich müssen wir nicht einmal von vorne anfangen, um den Algorithmus für diese automatische Struktur zu codieren. Es ist bereits in Sage (Python-basiert) für allgemeine Zwecke implementiert . Alles, was Sie tun müssen, ist das $m_{ij}$ anzugeben, und die verbleibende Implementierung ist bereits abgeschlossen. Darüber hinaus könnten Sie einige Beschleunigungen durchführen.

$m_{ij}$ ist aufgrund der Lokalitätseigenschaften der Tore sehr einfach zu berechnen. Wenn die Tore sind höchstens$k$ -local, danndie Berechnung von$m_{ij}$ kann auf einem geschehen$2^{2k-1}$ symmetrisch ist, hat 1 ist auf der Diagonale ( ($m_{ij}=2$$m_{ij}=2$$g_i$$g_j$$m_{ij}$$1$$(g_i g_i)^1 = 1$$(\operatorname{CNOT}_{12} H_1)$$\operatorname{CNOT}_{37} H_3$ ohne die Berechnung erneut .

$3$ oder mehr beteiligt waren, wurden alle verworfen. Wir setzen sie jetzt wieder ein. Nehmen wir an, wir haben das, dann kann man Dehns gierigen Algorithmus mit neuen Relationen ausführen . Wenn es eine Änderung gab, klopfen wir sie zurück, um die Coxeter-Gruppe erneut zu durchlaufen. Dies wiederholt sich, bis keine Änderungen mehr vorgenommen wurden.

Jedes Mal, wenn das Wort kürzer wird oder gleich lang bleibt, verwenden wir nur Algorithmen mit linearem oder quadratischem Verhalten. Dies ist ein ziemlich billiges Verfahren, also sollten Sie es auch tun und sicherstellen, dass Sie nichts Dummes getan haben.

$N$$K$$m$

edge_list=[]
for i1 in range(N):
    for j1 in range(i):
        edge_list.append((j1+1,i1+1,m[i1,j1]))
G3 = Graph(edge_list)
W3 = CoxeterGroup(G3)
s3 = W3.simple_reflections()
word=[choice(list([1,..,N])) for k in range(K)]
print(word)
wTesting=s3[word[0]]
for o in word[1:]:
    wTesting=wTesting*s3[o]
word=wTesting.coset_representative([]).reduced_word()
print(word)

N=28K=20$m$

[26, 10, 13, 16, 15, 16, 20, 22, 21, 25, 11, 22, 25, 13, 8, 20, 19, 19, 14, 28]

['CNOT_23', 'Y_1', 'Y_4', 'Z_2', 'Z_1', 'Z_2', 'H_1', 'H_3', 'H_2', 'CNOT_12', 'Y_2', 'H_3', 'CNOT_12', 'Y_4', 'X_4', 'H_1', 'Z_5', 'Z_5', 'Y_5', 'CNOT_45']

[14, 8, 28, 26, 21, 10, 15, 20, 25, 11, 25, 20]

['Y_5', 'X_4', 'CNOT_45', 'CNOT_23', 'H_2', 'Y_1', 'Z_1', 'H_1', 'CNOT_12', 'Y_2', 'CNOT_12', 'H_1']

$T_i$$T_i^n = 1$$T_i$$i$$w_1 g_{i_1} w_2 g_{i_2} \cdots w_k$$w_i$$X_1 T_2 X_1 T_2 X_1 T_2 X_1$

$H_i$$H_i$$m_{ij} \neq 1,2$

Mit dem in https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ beschriebenen Verfahren kann jedes Diagonalgate - und damit insbesondere das CCCZ-Gate - in CNOTs und Ein-Qubit-Diagonalgates zerlegt werden. Dabei können die CNOTs nach einem klassischen Optimierungsverfahren allein optimiert werden.

Die Referenz liefert eine Schaltung unter Verwendung von 16 CNOTs für beliebige diagonale 4-Qubit-Gatter (Fig. 4).

$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

Beachten Sie auch, dass diese Konstruktion keinesfalls optimal sein muss.

^{1 Hinweis: Ich bin ein Autor}