Quantenalgorithmen für die Faltung

Ich habe mich mit Anwendungen von Quantum Computing für maschinelles Lernen befasst und bin auf den folgenden Vordruck aus dem Jahr 2003 gestoßen. Quantenfaltungs- und Korrelationsalgorithmen sind physikalisch unmöglich . Der Artikel scheint in keiner Zeitschrift veröffentlicht worden zu sein, wurde aber einige Dutzend Mal zitiert.

Der Artikelautor macht geltend, dass es unmöglich ist, eine diskrete Faltung über Quantenzustände zu berechnen. Intuitiv erscheint mir dies falsch, da ich weiß, dass wir eine Quantenmatrixmultiplikation durchführen können, und ich weiß, dass diskrete Faltung einfach als Multiplikation mit einer Toeplitz- (oder zirkulierenden) Matrix dargestellt werden kann.

Der Kern seines Arguments scheint zu sein, dass es keine realisierbare Zusammensetzung einheitlicher Operatoren für das elementweise (Hadamard) Produkt zweier Vektoren gibt.

Wo ist meine Trennung? Gibt es einen Grund, warum wir im Allgemeinen keine Toeplitz-Matrix für die diskrete Faltung in einem Quantencomputer konstruieren können?

Oder ist der Artikel einfach falsch? Ich habe den Widerspruch durchgearbeitet, den der Autor in seinem Beweis von Lemma 14 vorlegt, und er scheint mir sinnvoll zu sein.

algorithm quantum-fourier-transform

— DPL
quelle

Das Papier endet mit der Aussage "Ein letzter Hinweis: Dieses Ergebnis wurde von einem Kommentar von David Meyer inspiriert, der unabhängig voneinander ähnliche Ergebnisse erzielt hat." Haben Sie nach einem Artikel von Meyer gesucht?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Ich habe es getan und konnte keinen finden, der einen ähnlichen Anspruch geltend macht.

— DPL

Antworten:

Sie können tatsächlich eine Faltung auf einem Quantencomputer durchführen (und diesbezüglich exponentiell schneller), wenn Ihre Eingangssignale eine bestimmte Struktur haben. Aber für allgemeine Eingaben scheint dies herausfordernd und vielleicht sogar physikalisch unmöglich zu sein, was das Papier zu argumentieren scheint.

$f$ $g$

F^{- 1} (F (f) . F (g))

$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$

Beachten Sie, dass die Fourier-Transformation eine sehr billige Operation auf einem Quantencomputer ist. Das scheint also großartig zu sein. Das Problem ist, dass die punktweise Multiplikation zweier Vektoren nicht so einfach ist. Mal sehen, welche Faktoren das bestimmen.

$f$

F = F (f) = \frac{1}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} | i ⟩ = \sum_{i = 1}^{N - 1} F (i)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$

F (f) . F (g) = F . G = (\begin{array}{cccc} F (0) \\ F (1) \\ . \\ F (N - 1) \end{array}) (\begin{matrix} G (0) \\ G (1) \\ . \\ G (N - 1) \end{matrix})

$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$

$f$

F = F (f) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ + | 2 ⟩ + | 5 ⟩ + | 7 ⟩)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$

Es wurden bereits Arbeiten durchgeführt, um Funktionen zu entdecken, die zu einem flachen oder nahezu flachen Fourier-Spektrum führen und daher leicht zu falten sind:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

— Ali Javadi
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\sum_{i j} α_{i} β_{j} | i j ⟩ \mapsto \sum_{i} α_{i} β_{i} | i ⟩

$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$

P = \sum_{i} | i ⟩ ⟨ i i | .

$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$

| i i ⟩ \mapsto | i 0 ⟩,

$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$

— DaftWullie
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Ist es nicht erforderlich, dass der Betrieb einheitlich ist?

— Craig Gidney

@CraigGidney Theorem 16 spricht speziell über die Kombination von Einheitlichkeit und Messung und behauptet, dass es keine einzelnen Messergebnisse gibt, die diese Karte erreichen können.

— DaftWullie

Dies scheint ein gutes Gegenbeispiel zu sein. Haben Sie ein Gespür für einen Fehler in der Logik des Autors beim Beweis von Lemma 14 (den er als Grundlage für den Beweis von Satz 16 verwendet?)

— DPL

@DPL Ich denke nicht, dass Lemma 14 falsch ist (zumindest glaube ich das Ergebnis. Ich weiß nichts über den Beweis). Es gibt jedoch ein seltsames Argument in Satz 16 (es mag in Ordnung sein, ich habe keines ausgegeben Wenn man darüber nachdenkt, sieht es nur verdächtig aus, etwas, weil etwas für Unitarier gilt, gilt dies für lineare Operatoren und damit auch für Messungen.

— DaftWullie

@DPL genauer, ich glaube Lemma 14, wie es für Unitarier gilt.

— DaftWullie