Wie kann ich das innere Produkt zweier Quantenregister unterschiedlicher Größe berechnen?

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Ich habe einen Algorithmus gefunden, der den Abstand zweier Quantenzustände berechnen kann. Es basiert auf einer Subroutine, die als Swap-Test bekannt ist (ein Wiedergabetreue-Schätzer oder ein inneres Produkt aus zwei Zuständen, obwohl ich nicht verstehe, was Wiedergabetreue bedeutet).

Meine Frage betrifft das innere Produkt. Wie kann ich das innere Produkt zweier Quantenregister berechnen, die eine unterschiedliche Anzahl von Qubits enthalten?

Die Beschreibung des Algorithmus finden Sie in diesem Dokument . Anhand des dritten Schritts, der auf dem Bild erscheint, möchte ich dies anhand eines Beispiels beweisen.

Lassen Sie: $|a| = 5$ , $|b| = 5$ und $Z = 50$

| a ⟩ = \frac{3}{5} | 0 ⟩ + \frac{4}{5} | 1 ⟩

$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$

| b ⟩ = \frac{4}{5} | 0 ⟩ + \frac{3}{5} | 1 ⟩

$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$ Alleswir wollenist die Treue der folgenden zwei Zustände

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ und

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ und den Abstand zwischen berechnen

| a ⟩

$|a\rangle$ und

| b ⟩

$|b\rangle$ ist gegeben als:

{| a - b |}^{2} = 2 Z | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}

${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ so

| ψ ⟩ = \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 00 ⟩ + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 01 ⟩ + + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 10 ⟩ + + \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 11 ⟩

$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$

dannwie zu berechnen

| ϕ ⟩ = \frac{5}{\sqrt{50}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ? ?

$\langle\phi|\psi\rangle = ??$

— Ein Mann
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In wenigen Worten können Sie nicht. Das innere Produkt ist für 2 Vektoren desselben Raums definiert (dh 2 Vektoren derselben Dimension), während Ihre Vektoren (oder Quantenzustände) nicht dieselbe Größe haben.

— Nelimee

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Ich denke, Sie betrachten die Gleichungen (130) und (131)? Also, hier haben Sie und. Wenn sagtes zu berechnen, was es wirklich bedeutetist Polsterung alles mit Identitätsmatrizen sie alle die gleiche Größe zu machen. Somit wird die Berechnung $|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$ $|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$ $\langle\phi|\psi\rangle$

(⟨ ϕ | \otimes I) | ψ ⟩,

$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$

wobei

und

die Elemente Ihres Vektors

. Wenn Sie dies durcharbeiten, erhalten Sie

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (\begin{array}{cccc} | a | & 0 & | b | & 0 \\ 0 & | a | & 0 & | b | \end{array}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

| a ⟩

$|a\rangle$

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ + | b | | b ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$

— DaftWullie
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Noch einmal, Sir, was meinen Sie damit, alles aufzufüllen? Wie kann ich das in Quantenschaltungsform interpretieren?

— Aman

@Aman Ich meine, wenn zwei Operatoren (oder in diesem Fall Zustände) für unterschiedliche Sätze von Qubits definiert sind, besteht die Art und Weise, wie Sie sie auf die gleiche Größe bringen, darin, dass Sie für jedes Qubit ein Tensorprodukt mit der 2x2-Identitätsmatrix einfügen nicht im angegebenen Satz.

— DaftWullie

@Aman: Sie können nur Qubit-Register austauschen. Was passiert ist, dass Sie das erste Register mit dem ersten Qubit des zweiten Registers tauschen. Dies lässt die Frage offen, was mit dem verbleibenden Qubit des zweiten Registers zu tun ist. Sie wenden die Identitätsoperation darauf an, wodurch erklärt wird, woher die oben genannte Identität stammt.

— Peter Shor

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Eigentlich sollte es ein Minus geben. Es gibt einen Fehler in der Zeitung. Wittek verwendet in seinem (teuren) Buch ein Minus .

Sagen Sie in der Tat:

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0, ein ⟩ + | 1, b ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

| ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{Z.}} (| ein | | 0 ⟩ - - | b | | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$

Dann :

⟨ ϕ | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | - | b | ⟨ 1 |) (| 0, a ⟩ + | 1, b ⟩)

$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | 0 ⟩ | a ⟩ - | b | ⟨ 1 | 0 ⟩ | a ⟩ + | a | ⟨ 0 | 1 ⟩ | b ⟩ - | b | ⟨ 1 | 1 ⟩ | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - 0 + 0 - | b | | b ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - | b | | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$

Now for the part of the question where you ask how to swap quantum registers of different numbers of qubits, the answer is you don't really do that. You actually swap the ancilla qubit of $|\psi\rangle$ with $|\phi\rangle$ . This is not told in the reference but it is said in the original reference it is based on.

— cnada
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Vielen Dank, Sir, aber in | ψ⟩ haben wir 3 Qubits oder 2 Qubits?

— Aman

Sie haben die Anzahl der Qubits, die für a und b erforderlich sind (sagen wir N), und Sie fügen ein weiteres hinzu, also N + 1.

— Cnada