Kann ein Quantencomputer leicht die Mischzeit der Rubik-Würfelgruppe bestimmen?

Beamte in Rubiks Würfelturnieren haben zwei verschiedene Methoden zum Verwürfeln eines Würfels verwendet. Gegenwärtig brechen sie einen Würfel auseinander und die Würfelchen in zufälliger Reihenfolge wieder zusammenbauen $\pi\in G$ der Cube - Gruppe Rubiks $G$ . Früher hätte sie eine Zufallsfolge anzuwenden $g$ der Singmaster bewegt $\langle U,D, F, B, L, R\rangle$ .

$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Hätte ein Quantencomputer irgendwelche Vorteile bei der Bestimmung der Mischzeit der Rubik-Würfelgruppe?$t$

Ich denke, wir können eine clevere Folge von Hadamard-Schritten durchführen, um ein Register als einheitliche Überlagerung aller solcher Konfigurationen zu erstellen . somit Anwendung irgendeiner Folge von Singmaster bewegt sich zu nicht ändert . ‖ G ‖ | Ein ⟩ | Ein $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

Wenn wir die Mischzeit , können wir auch ein anderes Register als einheitliche Überlagerung aller Singmaster-Wörter der Länge erstellen und jedes dieser Wörter unter bestimmten Bedingungen auf einen gelösten Zustand anwenden , um hoffentlich einen Zustand so dass, wenn wir messen , jede der Konfigurationen gleich wahrscheinlich gemessen wird. Wenn , dann werden wir nicht entlang der Cayleygraph von gegangen sind lange genug, und wenn wir messen t | B ⟩ t ' | A ′ ⟩ | B ⟩ | Ein ⟩ | Ein ⟩ ‖ G ‖ t ' < t G | Ein $t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$Konfigurationen, die dem gelösten Zustand "näher" sind, wären wahrscheinlicher. Einige clevere Fourier-ähnliche Transformationen von möglicherweise messen, wie gleichmäßig ist.| Ein $\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Für mich scheint das etwas zu sein, in dem ein Quantencomputer gut sein kann. Wenn beispielsweise nicht durch alle Wörter in gleichmäßig gemischt wurde , sind einige Konfigurationen wahrscheinlicher als andere, z. B. ist "konstanter". wohingegen , wenn hat von allen der Wanderungen vollständig gemischt worden ist , dann ist mehr „ausgeglichen“. Aber meine Einsicht sowohl in Quantenalgorithmen als auch in Markov-Ketten ist nicht stark genug, um weit zu kommen.| B ⟩ | Ein ⟩ | Ein ⟩ | Ein $\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

BEARBEITEN

Vergleichen Sie diese Frage mit dem Problem der Quantenknotenüberprüfung.

Bei der Quantenknotenüberprüfung wird einem Händler eine Quantenmünze als ein Zustand aller Knoten gegeben, die eine bestimmte Invariante haben. Um die Quantenmünze zu verifizieren, wendet sie eine Markov-Kette an, um auf sich selbst zu übertragen (falls es sich um eine gültige Münze handelt). Sie muss diese Markov-Kette anwenden und das Ergebnis mindestens mal messen , hat es aber ansonsten Es gibt keine Möglichkeit, selbst zu konstruieren (damit sie die Münze nicht fälschen kann.) Wenn sie eine gültige Münze erhält, erhält sie einen Zustand, den sie nicht selbst herstellen kann , zusammen mit einer Markov-Kette als Matrix , und sie kennt vermutlich die MischzeitM | K ⟩ t | K ⟩ M t | K $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; Sie muss testen, ob gültig ist.$\vert K \rangle$

In der vorliegenden Frage ist es wahrscheinlich ziemlich einfach , ein aller Rubik-Würfel-Permutationen zu generieren . Die Quantenschaltung, die der Markov-Kette ( ) von Singmaster-Zügen entspricht, ist wahrscheinlich auch recht einfach aufzubauen. Die Mischzeit ist jedoch unbekannt und muss nur bestimmt werden.S $\vert RC \rangle$$S$$t$

Es ist eine interessante Frage, die besser ist als die meisten anderen. "Gibt es einen Quantenalgorithmus für x?" Fragen. Ich kenne keinen existierenden Quantenalgorithmus. Lassen Sie mich beschreiben, was ich für einen typischen ersten Versuch halte und warum dies fehlschlägt. Am Ende beschreibe ich einige Dinge, die zu Verbesserungen führen könnten.

Erster Versuch eines Algorithmus

Angenommen, ich möchte eine bestimmte Mischzeit testen . Ich werde ein Register erstellen, , das genügend Arbeitsbereich enthält, um eine der möglichen Konfigurationen des Rubik-Cubes aufzunehmen. Der Ausgangszustand ist ein Produktzustand, der dem Ausgangszustand des Würfels entspricht.R $t$$RC$

Dann mache ich ancilla-Register, bis . Jede dieser Bewegungen hat dieselbe Größe wie die Anzahl der möglichen Singmaster-Bewegungen und wird als einheitliche Überlagerung aller möglichen Basiselemente erstellt. Dann wenden wir für jedes , eine gesteuerte Einheit von zuA 1 A t i = 1 , … t A i R C A i R $t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$ wobei das Register angibt, welche Singmaster-Bewegung auf angewendet wird .$A_i$$RC$

Nach all dem, wenn wir uns nur ansehen| A | $RC$ sollte , im maximal gemischten Zustand sein, wenn das Mischen wie gewünscht erfolgt ist. Das Problem besteht darin, zu testen, ob dieser Ausgang der maximal gemischte Zustand ist. Es gibt nützliche Techniken wie diese , aber welche Genauigkeit benötigen wir (dh wie viele Wiederholungen?). Wir brauchen ungefähr , um sicher zu sein, denke ich.$|A|^t$

Tatsächlich ist diese Vorgehensweise genauso schlecht wie die klassische: Sie könnten den Ausgangszustand jedes einzelnen der beiden ersetzen I / 2 | A i $A_i$ durch und das Ergebnis würde sich nicht ändern . Aber das ist wirklich so, als würde man jedes Mal eine zufällige Auswahl treffen und mehrmals nach der richtigen Ausgabeverteilung suchen.$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Mögliche Verbesserungen

• Läuft wie beschrieben, muss die Ausgangsdichtematrix (auf ) diagonal sein. Das bedeutet , dass die einheitliche Überlagerung alle Basiszustände über einen Eigenzustand , wenn und nur wenn das System maximal gemischt wird. Ich würde, wenn man diese Beobachtung mit einer Art Amplitudenverstärkung kombinieren könnte, um eine milde Beschleunigung zu erzielen. Beachten Sie, dass einen Unterschied baut sehr schnell von , wenn der Staat nicht ein Eigenvektor ist.$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Abgesehen davon müssen Sie wahrscheinlich etwas schlaueres mit den Ancilla-Registern machen. Es besteht die Hoffnung, dass dies möglich sein könnte, da im Rubik's Cube eine ganze Menge Gruppenstrukturen eingebaut sind. Eine Sache, die Sie versuchen könnten, ist zu sehen, ob Sie alle ersetzen können$t$ ancilla-Register durch ein einziges Register Wenden Sie Hadmard-Gatter auf jedes Qubit des Registers zwischen jeder Runde von Controlled-Unitaries an. Es könnte sein, dass Ihnen dies nur eine Effizienzersparnis in Bezug auf die Anzahl der Qubits im Vergleich zu meinem ursprünglichen Vorschlag verschafft. Es könnte nicht einmal das tun.

Ob beides direkt funktioniert, weiß ich nicht. Dennoch denke ich, dass die Schlüsselprinzipien darin bestehen, eine nützliche Gruppenstruktur zu finden und einen Weg zu finden, wie die Amplitudenverstärkung angewendet werden kann.

Vielleicht ist es hilfreich, sich über einheitliche Entwürfe zu informieren . Dies ist sicherlich ein anderes Problem als das, worüber wir hier sprechen, aber einige der technischen Tools könnten nützlich sein. Grob gesagt ist die Idee, dass eine Menge von Unitaries ein Design ist, wenn eine zufällige Anwendung dieser Unitaries es ermöglicht, eine wirklich zufällige Unitary (bezogen auf das Haar-Maß) auf Ausgabefunktionen zu simulieren, die, wenn sie unter Verwendung erweitert werden eine Taylor-Reihe, sind bis zum Grad genau . Die ungefähre Verbindung hier ist, dass, wenn Sie die Unitaries nehmen, die eine Folge von Singmaster-Zügen darstellen, alst f t t { U } Tr ( ρ 2$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$ , es ausreichen würde, wenn dieses Set ein 2-Design wäre (wenn Sie bekommen$\text{Tr}(\rho^2)$ richtig, du bist fertig).

(CW, um Wiederholungen durch Selbstantwort zu vermeiden)

Es könnte eine interaktive Möglichkeit für zwei Parteien geben, den Wert von einzugrenzen, indem sie @ DaftWullies Antwort und @Steven Sagonas Kommentare weiterverfolgen. Mein Formalismus ist schlecht, aber ich hoffe, die Idee kommt durch ...$t$

Rufen Sie beispielsweise die beiden Teilnehmer Alice und Bob an. Die Parteien müssen zusammenarbeiten und sich gemäß dem Protokoll ehrlich verhalten.

Alice weiß, wie man zwei Zustände vorbereitet, und | A 1 ⟩ . Hier, | A 0 ⟩ ist die einheitliche Überlagerung über alle Rubiks Würfel - Kombinationen und | A 1 ⟩ ist etwas andere Affen Zustand mit der gleichen Anzahl von Qubits (wie beispielsweise der Zustand in einem entsprechenden Zauberwürfel gelöst, oder eine gleichmäßigen Überlagerung über einige große Untergruppe von G ). Bob weiß, wie man eine Matrix M auf einen Quantenzustand anwendet , wobei $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$ entspricht einem einzelnen Schritt aller Singmaster-Moves (ggf. mit Ancillas)

Alice und Bob wollen zeigen, dass die Mischzeit der Rubik's Cube Group unter Singmaster Moves höchstens r beträgt . Alice und Bob wiederholen die folgenden s Male.$t$$r$$s$

1. Alice wirft eine Münze und liefert | A i ⟩ Bob$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob wiederholt mal, um M auf | anzuwenden A i ⟩ und misst die bei jedem Projektor.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Wenn der Projektor für jede der r Iterationen, dann sagt Bob , dass i = 0 . Wenn der Projektor nicht ist 1 für mindestens eine der r Iterationen, dann sagt Bob , dass Alices i = 1 .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Wenn , dann jeden von Bob r Iterationen in Schritt 2 nicht ändern | A 0 ⟩ - denn per Definition | A 0 ⟩ ist ein Eigenzustand von Bob Matrix und Bob Matrix permutiert nur die Staaten untereinander. Wenn i = 1 , dann der Affenzustand | A 1 ⟩ ist nicht ein Eigenzustand von Bob Projektor, und die Chance , dass ein 1 nicht wächst schnell mit gemessen werden r . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

So genau , wenn Bob hat vorausgesagt , für s Iterationen, wächst die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs exponentiell mit s , und Bob $i$$s$$s$$r$ ist groß genug , um ein gültige Rubiks Würfel Zustand von einem Affen Zustand zu unterscheiden.

Ich weiß nicht, wie weit auseinander muss sein , von | A 0 ⟩ . Ich weiß auch nicht, ob die Interaktion entfernt werden kann.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Lassen Sie uns zunächst einige Register und Operatoren betrachten.

1. Das Register $\vert A\rangle$ , die Überlagerung von Zuständen des Würfels (zB eine Permutation des Würfels kodiert $G$ );
2. Der Operator $U$ , der auf $\vert A\rangle$ einwirkt Ein ⟩ zur Karte des All-0'en ket $\vert 00\cdots 0\rangle$ die gleichmäßige Überlagerung über alle $\Vert G\Vert$ Zustände;
3. Das Register $\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$ , die Überlagerung eines Satzes von Singmaster kodiert bewegt zu einer gegebenen Position angelegt werden (zB Überlagerungen von Worten von Singmaster bewegt sich der Länge $k$ );
4. Die Operatoren $V$ und $V^{-1}$ , die auf $\vert B\rangle$ zur Karte des All-0'en ket $\vert 00\cdots 0\rangle$ die gleichmäßige Überlagerung aller $18^k$ Worten von Singmaster bewegt sich der Länge $k$ (und umgekehrt); und
5. Der (gesteuerte) Operator $W$ , der Singmaster anwendet, bewegt $b$ zu einer gegebenen Würfelposition.

Wenn $\vert A\rangle$ ist in der gleichmäßigen Überlagerung über alle Elemente von $G$ , dann $\vert A\rangle$ ist in einem Eigenzustand von $W$ und wiederholten Anwendungen von $W$ werden nicht gekickt zurück zu beeinflussen $\vert B\rangle$ .

Das heißt, $V^{-1}$ sollte $\vert B\rangle$ in der obigen Schaltung mit der All-Nullen ket $\vert 00\cdots 0\rangle$ .

Wie jedoch von @DaftWullie vermerkt, wenn $\vert u\rangle$ nicht in einem Eigenzustand, so ergibt sich eine Differenz zwischen $\vert u \rangle$ und $\rho^k \vert u\rangle$ baut sich sehr schnell - ich glaube , eine Geschwindigkeit , mit der dieser Unterschied aufbaut , hängt genau auf die Mischungseigenschaften des Betreibers von Interesse.

Wenn wir also einen Zustand herzustellen , sind in der Lage $\vert A\rangle$ , die sich gestört von der Gleichverteilung, so dass $\vert A\rangle$ ist kein Eigenzustand, dann wiederholte Anwendungen von $W$ wird einen Unterschied schnell aufbauen und $V^{-1}\vert B\rangle$ kann nicht sein , das all-Nullen ket.

Wenn wir eine Funktion $F$ die auf $\vert A\rangle$ wirkt Ein ⟩ und eine Antwort Qubit $\vert C\rangle$ dass, sagen wir, ob eine Hash bestimmt $\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$ des Zauberwürfel Position kleiner als ein gewisser Schwellwert $\delta$ , und wir verwenden diese $F$ zu steuern , um eine Drehung von $\vert A\rangle$ , dann glaube ich , dass die $V^{-1}\vert B\rangle$in der obigen Schaltung wird der Ket mit allen Nullen nicht gelesen und wird stattdessen wahrscheinlich in einer Weise von dem Ket mit allen Nullen abweichen, die nur von $\delta$ und der Mischzeit der Rubik's-Würfelgruppe mit dem Singmaster-Generatorsatz abhängt.

Das heißt, ich erwarte eine Messung von $\vert B\rangle$ in der obigen Schaltung wird gelesen $\vert 00000\cdots000101101\rangle$ oder etwas ähnliches, in dem der Index des ersten $1$ allein auf die Mischzeit und dem Schwellenwert abhängt $\delta$ .