Quantenzustände sind Einheitsvektoren… in Bezug auf welche Norm?

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Die allgemeinste Definition eines Quantenzustands, die ich gefunden habe, ist (Neuformulierung der Definition aus Wikipedia )

Quantenzustände werden durch einen Strahl in einem endlich- oder unendlichdimensionalen Hilbert-Raum über den komplexen Zahlen dargestellt.

Darüber hinaus wissen wir, dass wir, um eine nützliche Darstellung zu erhalten, sicherstellen müssen, dass der den Quantenzustand darstellende Vektor ein Einheitsvektor ist .

In der obigen Definition präzisieren sie jedoch nicht die Norm (oder das Skalarprodukt), die mit dem betrachteten Hilbert-Raum verbunden sind. Auf den ersten Blick dachte ich, dass die Norm nicht wirklich wichtig war, aber ich erkannte gestern, dass die Norm überall als euklidische Norm (2-Norm) gewählt wurde. Sogar die Ket- Notation scheint speziell für die euklidische Norm gemacht zu sein.

Meine Frage: Warum wird die euklidische Norm überall verwendet? Warum nicht eine andere Norm verwenden? Hat die euklidische Norm nützliche Eigenschaften, die in der Quantenmechanik verwendet werden können, die andere nicht haben?

— Nelimee
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Eigentlich wollte ich nur einen Kommentar hinzufügen, aber ich habe nicht den Ruf dafür: Beachten Sie, dass, wie Sie in Ihrer Frage schreiben, Quantenzustände Strahlen im Hilbert-Raum sind. Dies bedeutet, dass sie nicht normalisiert sind, sondern dass alle Vektoren im Hilbert-Raum, die in die gleiche Richtung zeigen, gleich sind. Es ist praktischer, mit normalisierten Zuständen zu arbeiten, aber die Physik ist tatsächlich in der Überlappung der Zustände untereinander verborgen. Aus diesem Grund gibt es in der Definition eines Staates keine Norm.

— Omri Har-Shemesh

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Borns Regel besagt, dass ist die Wahrscheinlichkeit, das Quantensystem im Zustand nach einer Messung. Wir brauchen die Summe (oder das Integral!) Über , um 1 zu sein: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Beides sind keine gültigen Normen, da sie nicht homogen sind . Sie können sie einfach durch Ausführen der Quadratwurzel homogen machen:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

und Sie können dies als die euklidische Norm und eine Verallgemeinerung der euklidischen Norm auf einen nicht diskreten Bereich erkennen. Wir könnten auch eine andere Norm verwenden:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} EIN ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) EIN ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

für eine positive definite Matrix / Funktion A.

Jedoch ein -Norm mit wäre nicht so nützlich seinweil zum Beispiel: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

muss nicht 1 sein

Auf diese Weise ist die euklidische Norm besonders, weil 2 die Potenz in Borns Regel ist, die eines der Postulate der Quantenmechanik ist.

— user1271772
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Diese Antwort bezieht sich auf meinen Kommentar zu @ DaftWullies . So ist die euklidische Norm , weil das Postulat der Messung verwendet wird , sagt uns , dass es das einzige ist

-Norm , die gültig ist?

p

$p$

— Nelimee

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Es ist die einzige p-Norm, die aussagekräftig ist. Wir wollen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ist (ein mathematisches Gesetz), und die Wahrscheinlichkeiten werden durch das Quadrat der Wellenfunktion definiert (ein Postulat der Quantenmechanik namens Bornsche Regel).

— user1271772

@Nelimee: Danke für deine Nachricht im Chat. Ich kann nicht antworten, da ich für weitere 2 Tage vom Chat ausgeschlossen bin. Der Grund für die erste Antwort war, dass ich Ihre Fragen gelesen habe: "Warum wird die euklidische Norm überall verwendet? Warum wird keine andere Norm verwendet?" und sofort als ein Fall betrachtet, in dem eine gültige Norm nicht die euklidische Norm ist, sondern eine andere 2-Norm, die eine 2-Norm für einen nicht diskreten Satz von Variablen ist. Ich dachte, dies wäre genug, um zu erklären, dass die euklidische Norm nicht die einzig gültige Norm ist und warum die euklidische Norm verwendet wird, wenn sie es ist. Aber als ich bemerkte, dass Daftwullie die Gegenstimme bekam und ich nicht, habe ich

— user1271772 13.07.18

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Ihre Antwort lautet also "wegen Borns Regel"? Bewegt das nicht einfach die Frage zu "Warum verwendet Borns Regel die Potenz von 2?"?

— DaftWullie

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Scheint wie ein "was kam zuerst, das Huhn oder das Ei?" Fall.

— user1271772

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Einige Begriffe scheinen hier etwas durcheinander zu sein. Quantenzustände werden (innerhalb eines endlichdimensionalen Hilbert-Raums) durch komplexe Vektoren der Länge 1 dargestellt, wobei die Länge durch die euklidische Norm gemessen wird. Sie sind nicht einheitlich, weil einheitlich eine Klassifikation einer Matrix ist, kein Vektor.

Quantenzustände werden gemäß einer Matrix geändert / entwickelt. Da Quantenzustände die Länge 1 haben, erweist es sich als notwendig und ausreichend, dass die Abbildungen von reinen Zuständen zu reinen Zuständen durch einheitliche Matrizen beschrieben werden. Dies sind die einzigen Matrizen, die die (euklidische) Norm beibehalten.

Es ist sicherlich eine berechtigte Frage: "Können wir für unsere Quantenzustände eine andere ( ) Norm verwenden?" Wenn Sie dann die Operationen klassifizieren, die normalisierte Zustände auf normalisierte Zustände abbilden, sind sie unglaublich begrenzt. Wenn , sind die einzigen gültigen Operationen Permutationsmatrizen (mit unterschiedlichen Phasen für jedes Element). Die Physik wäre viel langweiliger. $p$ $p\neq 2$

Ein guter Weg, um ein Gefühl dafür zu bekommen, besteht darin, einen 2D-Satz von Achsen zu zeichnen. Zeichnen Sie darauf die Formen, die der Menge der Punkte der Länge 1 unter verschiedenen Normen entsprechen. ergibt den Kreis, ergibt einen Diamanten und ergibt ein Quadrat. Welche Operationen können Sie ausführen, um die Form auf sich selbst abzubilden? Für den Kreis ist es jede Drehung. Für alles andere sind es nur Drehungen um ein Vielfaches von . Folgendes kommt von Wikipedia: $p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Wenn Sie weitere Informationen wünschen, können Sie hier nachsehen .

— DaftWullie
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Vielen Dank für die terminologischen Präzisionen! Sie haben Recht, ich habe die Begriffe missbraucht.

— Nelimee

Die Frage ist jedoch in Ordnung, solange Sie "unitary" durch "unit vector" ersetzen

— user1271772

Diese Antwort beantwortet jedoch nicht, warum wir die euklidische Norm verwenden. Ich habe verstanden, dass die anderen Normen nicht zweckmäßig sind, aber wir haben nicht wirklich die Kontrolle darüber, was innerhalb der physikalischen Gesetze "zweckmäßig" ist und was nicht, oder?

— Nelimee

@Nelimee Es ist nicht unbequem. Es ist so, dass viele Operationen nicht existieren, wenn Sie nicht die 2-Norm verwenden. Operationen wie die Quadratwurzel von nicht, die wir ausführen, experimentieren und beobachten können. Das schließt also alles außer der 2-Norm aus

— DaftWullie

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wie bei aller physik! Alle Theorien sind das, Theorien, die am besten zu den verfügbaren Daten passen.

— DaftWullie

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Mathematischer, weil mit einer -Norm ein Hilbert-Raum nur für . $\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

— Federico Poloni
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Ich habe Ihre Antwort (die eine großartige erste Antwort auf das QCSE ist!) Positiv bewertet, aber muss es eine 2-Norm sein? Sie sagen, dass 1-Norm und 3-Norm ungültig sind, aber was ist mit der Norm in meiner Antwort, die das Quadrat der 2-Norm ist?

— user1271772

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@ user1271772 Danke! Wenn ich das richtig verstehe, ist die von Ihnen vorgeschlagene Funktion nicht einmal eine Vektornorm, weil sie nicht homogen ist.

— Federico Poloni

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Was Sie vorschlagen, ist jedenfalls richtig: Man kann eine Hilbert-Raumstruktur mit einer anderen Norm als der

-Norm konstruieren (allerdings nicht mit der

-Norm anstelle der 2-Norm). Das einfachste Beispiel ist: Wählen Sie eine beliebige positive definite Matrix

und nehmen Sie die Norm

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

.

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

— Federico Poloni

es ist positiv homogen mit

, warum muss es mit

?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

— user1271772

@ user1271772

ist eine Anforderung in der Definition. Eines der Axiome der Vektornormen ist 2. p (av) = | a | p (v) (absolut homogen oder absolut skalierbar) (zum schnellen Nachschlagen die oben verlinkte Wikipedia-Seite). Natürlich ist das nur ein tautologisches Argument, "weil es so definiert ist", und ich verstehe, dass ein Physiker einen physischeren Grund haben möchte.

k = 1

$k=1$

— Federico Poloni

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Ein elegantes Argument kann abgeleitet werden, indem gefragt wird, welche Theorien wir aufbauen können, die durch Vektoren , wobei die zulässigen Transformationen lineare Abbildungen sind , Wahrscheinlichkeiten werden von einigen gegeben Norm, und Wahrscheinlichkeiten müssen von diesen Karten erhalten werden. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Es stellt sich heraus, dass es grundsätzlich nur drei Möglichkeiten gibt:

Deterministische Theorien. Dann brauchen wir diese Vektoren nicht, da wir uns immer in einem bestimmten Zustand befinden, dh die Vektoren sind und dergleichen, und die sind nur Permutationen. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Klassische probabilistische Theorien. Hier verwenden wir die -norm und die stochastischen Karten. Die sind Wahrscheinlichkeiten. $1$ $v_i$
Quantenmechanik. Hier verwenden wir die -norm und unitären Transformationen. Die sind Amplituden. $2$ $v_i$

Dies sind die einzigen Möglichkeiten. Für andere Normen existieren keine interessanten Transformationen.

Wenn Sie eine detailliertere und schönere Erklärung dazu wünschen, bietet Scott Aaronsons "Quantum Computing since Democritus" einen Vortrag dazu sowie einen Artikel .

— Norbert Schuch
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2

$p=2$ $L^p$

$M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ Warum also nicht einfach die Variablen in ändern . Sie können sich dies als-Funktion im Raum vonPunkten vorstellen, wobei jeder Punkt mitgewichtet wird. $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

Ja, für den kontinuierlichen Fall 1 können Sie auch . gewichtet nur die Längen neu. Das ist immer noch ein perfekter Hilbert-Raum. Das Problem ist jedoch, dass die Übersetzung eine Symmetrie sein sollte und bricht. Verwenden Sie also genauso gut nicht . Für einige Zwecke ist diese Symmetrie nicht vorhanden, sodass Sie ein $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ . $w(x) \neq 1$

In einigen Fällen ist es hilfreich, nicht zum Standardformular zu wechseln. Es geht darum, wie Sie einige Berechnungen durchführen. Wenn Sie beispielsweise einige numerische Funktionen ausführen, können Sie Ihre Fehler durch diese Art der Neuordnung reduzieren, um wirklich kleine oder große Zahlen zu vermeiden, die Ihr Computer als schwierig empfindet.

$\sqrt{M_{ii}}$

— AHusain
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-1

$n$

$\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

$i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

$i\ne j$

$n$ $n$ $x$ $n$ Geschwindigkeit.

Wir könnten auch einen Quadratwurzeloperator auf die obige Norm anwenden, und trotzdem hätten wir die erforderliche Eigenschaft dafür $\int P(x)dx=1$ und die euklidische Norm kann dann jedoch als Sonderfall dieser Norm für den Fall betrachtet werden, in dem $x$ kann nur aus einer zählbaren Anzahl von Werten ausgewählt werden. Der Grund, warum wir die obige Norm in der Quantenmechanik verwenden, ist, dass sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion garantiert $P(x)$ Integriert zu 1, was ein mathematisches Gesetz ist, das auf der Definition der Wahrscheinlichkeit basiert . Wenn Sie eine andere Norm hätten, die garantiert, dass alle Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllt sind, könnten Sie diese Norm auch anwenden.

— user1271772
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@Nelimee: Ich kann auf Ihre Chat-Nachricht "Ich habe den Punkt Ihrer Antwort nicht mit 0 Stimmen erhalten" nicht antworten, da ich für 2 weitere Tage vom Chat ausgeschlossen bin. Aber welchen Teil dieser Antwort erhalten Sie nicht?

— user1271772

@Nelimee? Ich bin jetzt bei -1, würde also gerne wissen, welcher Teil unklar war

— user1271772

Was Sie schreiben, ist nur die euklidische Norm in unendlichen Dimensionen. Ihre Aussage "Die hier definierte euklidische Norm für einen n-dimensionalen Raum ist nicht die einzige Norm, die für Quantenzustände verwendet wird." ist insofern irreführend, als es falsch ist.

— Norbert Schuch

@Norbert. (1) Dies ist das QUADRAT der euklidischen Norm. (2) hier ist es UNZÄHLBAR unendlich. Es ist nicht mehr n-dimensional, auch nicht für unendlich viele n.

— user1271772

@ (1) Das liegt daran, dass Sie vergessen haben, die Quadratwurzel zu setzen. Auch die Quadratwurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ . (2) Das stimmt nicht.

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$ Der Raum normierter Funktionen mit dieser Norm ist ein trennbarer Raum, dh er hat eine abzählbar unendliche Basis.

— Norbert Schuch