Hat die lokale Clifford-Äquivalenz eine direkte grafische Darstellung für Qudit-Graphenzustände mit nicht primärer Dimension?

Diese Frage ist eine Fortsetzung der vorherigen QCSE-Frage: " Sind die Zustände des Qudit-Graphen für Nicht-Prim-Dimensionen gut definiert? ". Aus der Antwort der Frage geht hervor, dass die Definition von Diagrammzuständen mit dimensionalen Qudits nichts Falsches ist. Andere Definitionsaspekte von Diagrammzuständen erstrecken sich jedoch nicht in ähnlicher Weise auf Nicht-Prim-Dimensionen.$d$

Insbesondere für Qubit-Graphzustände ist ein wesentlicher Aspekt für ihre Verbreitung und Verwendung die Tatsache, dass: zwei beliebige Graphzustände genau dann lokal Clifford-äquivalent sind, wenn es eine Folge lokaler Komplementationen gibt, die einen Graphen zum anderen führt (für einfache, ungerichtete Graphen). Selbstverständlich ist dies ein unglaublich nützliches Werkzeug für die Analyse von Quantenfehlerkorrekturen, Verschränkungen und Netzwerkarchitekturen.

Wenn qudit-Graphzustände betrachtet werden, wird der äquivalente Graph nun mit der Adjazenzmatrix A ∈ Z n × n d gewichtet , wobei A i j das Gewicht der Kante ( i , j ) ist (wobei A i j = 0 anzeigt, dass keine Kante existiert ). Im qudit-Fall wurde gezeigt, dass die LC-Äquivalenz in ähnlicher Weise durch die Verallgemeinerung der lokalen Komplementation ( ∗ a v ) und die Einbeziehung einer Kantenmultiplikationsoperation ( ∘ b$n$$A \in \mathbb{Z}_d^{n \times n}$$A_{ij}$$(i,j)$$A_{ij}=0$$\ast_a v$$\circ_b v$), wobei: wobeia,b=1,…,d-1und alle Arithmetik modulop ausgeführt wird.

$$\begin{align} \ast_a v &: A_{ij} \mapsto A_{ij} + aA_{vi}A_{vj} \quad \forall\;\; i,j \in N_G(v), \;i \neq j \\ \circ_b v &: A_{vi} \mapsto bA_{vi} \quad\forall\;\; i \in N_G(v), \end{align}$$ $a, b = 1, \ldots, d-1$$p$

Grafisch wird dies durch die folgenden Operationen dargestellt (reproduziert aus Lit. 2 ):

Wenn der Graphstatus jedoch für Qudits mit nicht primärer Dimension definiert ist, können wir sehen, dass diese Operationen (scheinbar) keine LC-Äquivalenz darstellen.

$|G\rangle$$G$$d=4$$x=y=z=2$$A_{12}=A_{13}=A_{14}=2$$\circ_2 1$$A_{1i} \mapsto 2 \times 2 = 4 \equiv 0 \bmod 4 \;\forall\; i$$1$wird von allen anderen Qudits nur mit lokalen Operationen entwirrt. Dies ist eindeutig falsch und tritt aufgrund des Problems der Nullteiler auf, wie in der Antwort der vorherigen Fragen erwähnt .

Meine Frage ist: Gibt es eine Reihe von Diagrammoperationen, die die lokale Clifford-Äquivalenz für Qudit-Diagrammzustände mit nicht primärer Dimension korrekt darstellen?

Hinweis: Ich interessiere mich hauptsächlich für Operationen, die direkt auf die Darstellung eines Zustands als einzelnes gewichtetes Diagramm zutreffen, und nicht für mögliche Zerlegungen in mehrere primdimensionale Diagrammzustände, wie in Abschn. 4.3 von " Absolut maximal verschränkte Qudit-Graph-Zustände ".

In diesem Zusammenhang ist es falsch, Modulo-Arithmetik zu verwenden. Stattdessen sollte eine endliche Feldarithmetik angewendet werden. In wobei und die Konjugation von definiert ist als .$\textrm{GF}(4) = \{0, 1, x, x^2\}$$x^2 = x + 1$$a$$\bar{a} = a^2$

Additions-, Multiplikations- und Konjugationstabellen sind dann wie folgt:

In diesem Bild haben wir , , und so dass und somit die offensichtliche Inkonsistenz nicht auftritt.$0 \equiv 0$$1 \equiv 1$$2 \equiv x$$3 \equiv x^2$$2 \times 2 = 3$