Kann adiabatisches Quantencomputing schneller sein als der Algorithmus von Grover?

Es wurde nachgewiesen, dass adiabatisches Quantencomputing dem "Standard" - oder Gate-Modell-Quantencomputing entspricht. Adiabatisches Rechnen verspricht jedoch Optimierungsprobleme, bei denen das Ziel darin besteht, eine Funktion zu minimieren (oder zu maximieren), die in irgendeiner Weise mit dem Problem zusammenhängt, dh die Instanz zu finden, die diese Funktion minimiert (oder maximiert), löst die Problem.

Nun scheint mir, dass der Algorithmus von Grover im Wesentlichen dasselbe tun kann: Durch Durchsuchen des Lösungsraums wird eine Lösung (möglicherweise aus vielen Lösungen) gefunden, die das Orakelkriterium erfüllt, was in diesem Fall der Optimalitätsbedingung entspricht. in der Zeit $O(\sqrt N)$, wobei$N$die Größe des Lösungsraums ist.

Dieser Algorithmus hat sich als optimal erwiesen: Wie Bennett et al. (1997) formulierte es so: "Die Klasse $\rm NP$ kann auf einer Quantenturingmaschine nicht in der Zeit gelöst werden $o(2^{n/2})$." Nach meinem Verständnis bedeutet dies, dass es keine Möglichkeit gibt, einen Quantenalgorithmus zu konstruieren, der eine Lösung findet, indem er den Raum schneller durchsucht als $O(\sqrt N)$, wobei$N$mit der Problemgröße skaliert.

Meine Frage lautet also: Während adiabatisches Quantencomputing bei Optimierungsproblemen oft als überlegen dargestellt wird, kann es wirklich schneller sein als ? Wenn ja, scheint dies der Optimalität von Grovers Algorithmus zu widersprechen, da jeder adiabatische Algorithmus durch eine Quantenschaltung simuliert werden kann. Wenn nicht, was bringt es, adiabatische Algorithmen zu entwickeln, wenn sie niemals schneller sind als etwas, das wir systematisch mit Schaltkreisen konstruieren können? Oder stimmt etwas mit meinem Verständnis nicht?$O(\sqrt N)$

Gute Frage. Für die unstrukturierte Suche ergibt die adiabatische Quantenberechnung genau dasselbe Beschleunigung, die der Standard-Grover-Algorithmus auf Gate-Basis durchführt, wie indiesemwichtigenArtikelvon Roland und Cerfbewiesen. Dies stimmt mit der von Ihnen erwähnten Äquivalenz zwischen adiabatischer und gate-basierter Quantenberechnung überein.$\sqrt{N}$

(Eine kleine Korrektur Ihrer Frage: Sie haben Recht, dass Sie im Setup für das Problem mit der Orakelsuche Ihre Suchabfrage als Ja / Nein-Frage einrahmen müssen, die das Orakel beantworten kann. Die Frage ist jedoch nicht wirklich beantwortet.) zu sein „does extremize die Funktion f ( x ) ?“, wie Sie vorgeschlagen. Stattdessen ist es „ist f ( x ) kleiner als oder gleich M ?“ Siehe Folien 9 und 10 hier . das ist , weil ein Orakel für letztere Frage gilt als ein realistischeres Modell für eine physikalische Einrichtung, wo es 'Es ist denkbar, dass man f ( x ) für ein gegebenes $x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$, aber .)$f(x) - f_\text{min}$

Dennoch bietet die adiabatische Qualitätskontrolle zwei potenzielle Vorteile, die theoretisch nur schwer zu untersuchen sind. Das erste ist praktisch: Tatsächlich ist es viel schwieriger, große kohärente Quantenschaltungen zu bauen, als sie nur in einem Zeitschriftenartikel zu zeichnen. Auch wenn die adiabatische Qualitätskontrolle keinen grundlegenden Vorteil gegenüber der herkömmlichen Konfiguration hat, ist sie möglicherweise viel einfacher experimentell zu implementieren.

Zweitens gilt für AQC derselbe große Vorbehalt wie für den Standard-Algorithmus von Grover: Er gilt nur für unstrukturierte oder "Black-Box" -Suche, bei der wir alle Korrelationen zwischen den Antworten, die das Orakel bei Eingabe von "ähnlich" oder "ähnlich" gibt, vollständig ignorieren. verwandte "Abfragen. Jedes tatsächliche Suchproblem, das uns interessiert, weist per Definition eine gewisse Struktur auf, obwohl diese Struktur möglicherweise viel zu kompliziert ist, als dass wir sie analysieren könnten. Wenn wir zum Beispiel die Funktion als eine Energielandschaft betrachten, die extremisiert werden soll, erscheint es vernünftig, dass das System leichter zwischen "nahen" lokalen Minima als zwischen "fernen" Minima tunneln kann.

$\subset$

Die adiabatische Quantenberechnung kann unter dem Gesichtspunkt der rechnerischen Komplexität nichts schnelleres als die schaltungsbasierte Quantenberechnung leisten . Dies liegt daran, dass es einen mathematischen Beweis dafür gibt, dass eine schaltungsbasierte Quantenberechnung eine adiabatische Quantenberechnung effizient simulieren kann [siehe Abschnitt 5 dieses Dokuments ].

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

$\mathcal{O}(\log{N})$$\mathcal{O}(\log{N})$$\mathcal{O}(\sqrt{N})$