Was ist die Motivation hinter Dichtematrizen? Und was ist der Unterschied zwischen den Dichtematrizen reiner Zustände und den Dichtematrizen gemischter Zustände?

^{Dies ist eine selbst beantwortete Fortsetzung von Was ist der Unterschied zwischen einem reinen und einem gemischten Quantenzustand? & Wie finde ich eine Dichtematrix eines Qubits? Sie können gerne alternative Antworten schreiben.}

quantum-state density-matrix

— Sanchayan Dutta
quelle

Motivation

Die Motivation hinter Dichtematrizen besteht darin, einen Mangel an Wissen über den Zustand eines bestimmten Quantensystems darzustellen und alle möglichen Ergebnisse von Messergebnissen in einer einzigen Beschreibung dieses Systems zusammenzufassen, sofern wir über das System Bescheid wissen. Die Dichtematrixdarstellung hat den zusätzlichen Vorteil, dass alle mit globalen Phasen verbundenen Probleme beseitigt werden, weil

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{ich φ} | ϕ ⟩) (e^{- - ich φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$ Der Mangel an Wissen kann auf verschiedene Weise auftreten:

Ein subjektiver Mangel an Wissen - ein Schiedsrichter bereitet für Sie einen von mehreren Zuständen vor $\{|\phi_i\rangle\}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_i$ , aber Sie wissen nicht , welche. Auch wenn sie wissen, welche $|\phi_j\rangle$ sie vorbereitet, da Sie dies nicht tun, müssen Sie es auf der Grundlage beschreiben , was Sie von den möglichen Satz von Zuständen kennen und ihre entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ .
Ein objektiver Mangel an Wissen - wenn das Quantensystem Teil eines größeren verschränkten Zustands ist, ist es unmöglich, das System als reinen Zustand zu beschreiben, aber alle möglichen Ergebnisse von Messungen werden durch die Dichtematrix beschrieben, die durch $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ .

Es ist jedoch interessant, dass der objektive Mangel an Wissen subjektiv werden kann - eine zweite Partei kann Operationen am Rest des verwickelten Staates durchführen. Sie können die Messergebnisse usw. kennen, aber wenn sie diese nicht weitergeben, hat die Person, die das ursprüngliche Quantensystem besitzt, keine neuen Kenntnisse und beschreibt ihr System daher mit derselben Dichtematrix wie zuvor, aber es ist jetzt eine subjektive Beschreibung .

Es ist auch wichtig anzumerken, dass die Auswahl einer bestimmten Art der Darstellung der Dichtematrix, zum Beispiel $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ ist eine sehr subjektive Wahl. Es kann durch ein bestimmtes Vorbereitungsverfahren motiviert sein, aber mathematisch ist jede Beschreibung, die dieselbe Matrix ergibt, äquivalent. Zum Beispiel ist auf einem einzelnen Qubit $\rho=\frac12\mathbb{I}$ ist als maximal gemischter Zustand bekannt. Aufgrund der Vollständigkeitsrelation einer Basis kann dies als 50: 50-Mischung oder als zwei orthogonale Zustände unter Verwendung einerbeliebigen1-Qubit-Basis dargestellt werden.

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Reine und gemischte Staaten

Der Unterschied zwischen der Dichtematrix eines reinen Zustands und eines gemischten Zustands ist einfach - der reine Zustand ist ein Sonderfall, der in der Form , während ein gemischter Zustand nicht in dieser Form geschrieben werden kann. Mathematisch bedeutet dies, dass die Dichtematrix eines reinen Zustands Rang 1 hat, während ein gemischter Zustand einen Rang größer als 1 hat. Der beste Weg, dies zu berechnen, ist über : impliziert einen reinen Zustand, sonst ist es gemischt. Um dies zu sehen, sei daran erinnert, dass $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ , was bedeutet, dass alle Eigenwerte zu 1 summieren. Außerdem ist positiv semidefinit, so dass alle Eigenwerte real und nicht negativ sind. Wenn also Rang 1 ist, sind die Eigenwerte und ihr Summenquadrat ist eindeutig 1. Das Summenquadrat jeder anderen Menge nicht negativer Zahlen, die sich zu 1 summieren müssen kleiner als 1 sein. $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ $(1,0,0,\ldots ,0)$

Der reine Zustand entspricht einer perfekten Kenntnis des Systems, obwohl der Spaß an der Quantenmechanik darin besteht, dass dies keine vollständige Kenntnis der möglichen Messergebnisse impliziert. Gemischte Zustände repräsentieren ein unvollkommenes Wissen, sei es Wissen über die Vorbereitung oder Wissen über einen größeren Hilbert-Raum.

Dass die Beschreibung des gemischten Zustands viel umfangreicher ist, zeigt das Bild der Bloch-Kugel auf einem einzigen Qubit: Die reinen Zustände sind alle auf der Oberfläche der Kugel, während die gemischten Zustände alle im Volumen enthaltenen sind. Für die Parameterzählung benötigen Sie anstelle von zwei Parametern drei, wobei der zusätzliche der Länge des Bloch-Vektors entspricht. wobeiein Einheitsvektor mit 3 Elementen ist,ein Vektor der Pauli-Matrizen ist undfür einen reinen Zustand undfür einen gemischten Zustand.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
quelle

(+1) Vielen Dank, nach meinem Verständnis haben wir den Staat

und wissen wollen

, und es gibt keinen bereits existierenden Weg , es zu finden, damit wir definieren Dichtematrix, bin ich richtig? Haben wir unterschiedliche Definitionen der Dichtematrix für unterschiedliche Zwecke? Wie Sie für

für subjektiven Mangel an Wissen und für objektives

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ Erstens ist mir nicht klar, was Sie unter mangelndem Wissen verstehen.

— Tarit Goswami

(Forts.) Zweitens können Sie anhand eines Beispiels erklären, was Sie unter subjektiv und objektiv verstehen .

— Tarit Goswami

@taritgoswami Ziel bedeutet, dass alle zustimmen. Wenn ich also einen reinen Zustand mache und ihn der Welt ankündige, weiß jeder, was dieser Zustand ist. Es ist eine objektive Tatsache. Aber wenn verschiedene Leute verschiedene Dinge über einen Staat wissen, z. B. wissen sie, dass es entweder | 0> oder | 1> ist, aber ich habe es gemessen und weiß, dass es | 1> ist, aber ich habe es niemandem erzählt, dann jedem beschreibt den Zustand basierend auf dem, was sie darüber wissen, so dass jedes Thema eine andere, persönliche Beschreibung des Zustands hat.

— DaftWullie

@taritgoswami Wenn es ein

, die verstrickt ist, gibt es keinen Begriff von

. Es ist nicht so, dass wir es nicht finden können; Es existiert nicht. Die Dichtematrix ist die beste Beschreibung von A für sich, die existieren kann, weil A nicht in einem Zustand für sich existiert, sondern mit dem von B zusammengeführt wird. Wir haben keine unterschiedlichen Definitionen der Dichtematrix. Die gleichen grundlegenden Eigenschaften gelten, was auch immer Sie tun, es gibt nur verschiedene Philosophien, anhand derer Sie die Bedeutung und Relevanz der Dichtematrix verstehen können.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie

Die Motivation hinter Dichtematrizen ^[1] :

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Quantensystems durch einen mit bezeichneten Zustandsvektor dargestellt (und ausgeprägte Ket ). Ein Quantensystem mit einem Zustandsvektor ist ein sogenannter reinen Zustand . Es ist jedoch auch möglich, dass sich ein System in einem statistischen Ensemble verschiedener Zustandsvektoren befindet. Beispielsweise kann eine Wahrscheinlichkeit von dass der Zustandsvektor und eine Chance , dass der Zustandsvektor ist . Dieses System wäre in einem gemischten Zustand $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . Die Dichtematrix ist besonders nützlich für gemischte Zustände, da jeder Zustand, rein oder gemischt, durch eine einzelne Dichtematrix charakterisiert werden kann. Ein gemischter Zustand unterscheidet sich von einer Quantenüberlagerung. Die Wahrscheinlichkeiten in einem gemischten Zustand sind klassische Wahrscheinlichkeiten (wie in den Wahrscheinlichkeiten, die man in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie / -statistik lernt), im Gegensatz zu den Quantenwahrscheinlichkeiten in einer Quantenüberlagerung. Tatsächlich ist eine Quantenüberlagerung von reinen Zuständen ein anderer reiner Zustand, zum Beispiel . In diesem Fall sind die Koeffizienten $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ sind keine Wahrscheinlichkeiten, sondern Wahrscheinlichkeitsamplituden. $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Beispiel: Lichtpolarisation

Ein Beispiel für reine und gemischte Zustände ist die Lichtpolarisation. Photons kann zwei Helizitäten , zu zwei orthogonalen Quantenzuständen entsprechen, (rechts zirkulare Polarisation ) und (links zirkulare Polarisation ). Ein Photon kann sich auch in einem Überlagerungszustand befinden, wie z. B. $|R\rangle$ $|L\rangle$ (vertikale Polarisation) oder $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (horizontale Polarisation). Allgemeiner kann es in jedem Zustand(mit) entsprechendlinear,kreisförmigoderelliptischpolarisiert. Wenn wir passieren $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ polarisiertes Licht durch einenZirkularpolarisator,der entweder nurzulässt polarisiertes Licht, oder nurpolarisiertes Licht würde die Intensität umHälfte in beiden Fällen reduziert. Dies könnte denAnscheinerwecken,alsob sich die Hälfte der Photonen im Zustandund der andere im Zustand. Das ist aber nicht richtig: BeideundwerdenTeil durch einen vertikalen absorbiertlinearen Polarisator, aber die $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ Licht wird ohne jegliche Absorption durch diesen Polarisator geleitet. $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

Jedoch unpolarisiertes Licht wie das Licht einer Glühbirne aus jedem Zustand wie unterschiedlich ist (linear, zirkular oder elliptisch Polarisation). Im Gegensatz zu linear oder elliptisch polarisiertem Licht passiert es den Polarisator mit einem Intensitätsverlust von , unabhängig von der Ausrichtung des Polarisators. und im Gegensatz zu zirkular polarisiertem Licht kann es mit keiner Wellenplatte linear polarisiert werden , da zufällig orientierte Polarisation aus einer Wellenplatte mit zufälliger Orientierung austritt. In der Tat kann unpolarisiertes Licht nicht als solches beschrieben werden $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ Zustand der Form in einem bestimmten Sinne. Unpolarisiertes Licht kann jedoch mit Ensemble-Durchschnittswerten beschrieben werden, z. B. dass jedes Photon entweder mit Wahrscheinlichkeit oder mit Wahrscheinlichkeit. Das gleiche Verhalten auftreten würde , wenn jedes Photon entweder vertikal mit polarisiertem Wahrscheinlichkeit oder horizontal polarisierte mit Wahrscheinlichkeit. $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Daher kann unpolarisiertes Licht nicht durch einen reinen Zustand beschrieben werden, sondern kann auf mindestens zwei Arten als statistisches Ensemble reiner Zustände beschrieben werden (das Ensemble aus halb links und halb rechts zirkular polarisiert oder das Ensemble aus halb vertikal und halb horizontal linear polarisiert) ). Diese beiden Ensembles sind experimentell völlig ununterscheidbar und werden daher als der gleiche gemischte Zustand angesehen. Einer der Vorteile der Dichtematrix besteht darin, dass es für jeden gemischten Zustand nur eine Dichtematrix gibt, während es für jeden gemischten Zustand viele statistische Ensembles reiner Zustände gibt. Die Dichtematrix enthält jedoch alle Informationen, die zur Berechnung messbarer Eigenschaften des gemischten Zustands erforderlich sind.

Woher kommen gemischte Staaten? Um dies zu beantworten, überlegen Sie, wie Sie unpolarisiertes Licht erzeugen können. Eine Möglichkeit besteht darin, ein System im thermischen Gleichgewicht zu verwenden , eine statistische Mischung aus einer enormen Anzahl von Mikrozuständen mit jeweils einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Boltzmann-Faktor ), die aufgrund thermischer Schwankungen schnell von einem zum nächsten wechselt . Die thermische Zufälligkeit erklärt, warum beispielsweise eine Glühbirne unpolarisiertes Licht emittiert. Eine zweite Möglichkeit, unpolarisiertes Licht zu erzeugen, besteht darin, Unsicherheit bei der Herstellung des Systems einzuführen, indem es beispielsweise durch einen doppelbrechenden Kristall geleitet wirdmit einer rauen Oberfläche, so dass leicht unterschiedliche Teile des Strahls unterschiedliche Polarisationen erhalten. Ein dritte Weg unpolarisiertes Licht verwendet einen EPR - Setup zu generieren: A radioaktive Zerfall zwei Photonen in entgegengesetzten Richtungen läuft, in dem Quantenzustand emittieren kann . Die beiden Photonen zusammen befinden sich in einem reinen Zustand. Wenn Sie jedoch nur eines der Photonen betrachten und das andere ignorieren, verhält sich das Photon wie unpolarisiertes Licht. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Im Allgemeinen ergeben sich gemischte Zustände üblicherweise aus einer statistischen Mischung des Ausgangszustands (z. B. im thermischen Gleichgewicht), aus Unsicherheiten im Herstellungsverfahren (z. B. leicht unterschiedliche Wege, die ein Photon zurücklegen kann) oder aus der Betrachtung eines Subsystems, mit dem es verwickelt ist etwas anderes.

Erhalten der Dichtematrix ^[2] :

Wie zuvor erwähnt, kann sich ein System in einem statistischen Ensemble verschiedener Zustandsvektoren befinden. Angenommen, es besteht eine Wahrscheinlichkeit von dass der Zustandsvektor und Wahrscheinlichkeit , dass der Zustandsvektor ist werden, um die entsprechenden klassischen Wahrscheinlichkeiten für jeden Zustand vorbereitet. $p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

Sag mal, jetzt wollen wir das finden Erwartungswert eines Operators . Es ist gegeben als: $\hat{O}$

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Beachten Sie, dass und Skalare sind, und Spur von Skalare Skalare zu. Somit können wir den obigen Ausdruck schreiben als: $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Verwenden Sie nun die Eigenschaften der zyklischen Invarianz und Linearität der Kurve :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

wobei ist, was wir die Dichtematrix nennen. Der Dichteoperator enthält alle Informationen, die zur Berechnung eines Erwartungswerts für das Experiment erforderlich sind. $\rho$

Somit grundsätzlich die Dichtematrix ist $\rho$

in diesem Fall.

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$

Sie können diese Logik natürlich extrapolieren, wenn für ein System mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten mehr als nur zwei Zustandsvektoren möglich sind.

Berechnung der Dichtematrix:

Nehmen wir ein Beispiel wie folgt.

In dem obigen Bild emittiert die Glühbirne vollständig zufällig polarisierte Photonen mit einer gemischten Zustandsdichtematrix. $1$ $2$

Wie zuvor erwähnt, kann ein unpolarisiertes Licht mit einem Ensemble-Durchschnitt erklärt werden, dh jedes Photon ist entweder oder mit Wahrscheinlichkeit für jeden. Ein weiterer möglicher Ensemble-Durchschnitt ist: Jedes Photon ist entweder $|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ oder $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ mit jeweilsWahrscheinlichkeit. Es gibt auch viele andere Möglichkeiten. Versuchen Sie, sich selbst welche auszudenken. Der zu beachtende Punkt ist, dass die Dichtematrix für alle diese möglichen Ensembles genau gleich ist. Und genau aus diesem Grund ist die Zerlegung der Dichtematrix in reine Zustände nicht eindeutig. Lass uns das Prüfen: $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

Fall 1 : & $50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{gemischt} = 0,5 | R. ⟩ ⟨ R. | + 0,5 | L. ⟩ ⟨ L. |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Nun in der Basis , $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ kann als bezeichnet werden und kann als bezeichnet werden $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0,5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]]) + 0,5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}]])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0,5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]] + 0,5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{matrix}]]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Fall 2 : $50\%$ & $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{gemischt} = 0,5 (\frac{| R. ⟩ + | L. ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R. | + ⟨ L. |}{\sqrt{2}}) + 0,5 (\frac{| R. ⟩ - - | L. ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R. | - - ⟨ L. |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

In der Basis , $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ kann als $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ und $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ kann als $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0,5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]]) + 0,5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}]])

= 0,5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]] + 0,5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Somit können wir deutlich sehen, dass wir sowohl in Fall 1 als auch in Fall 2 die gleichen Dichtematrizen erhalten.

= [\begin{matrix} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{matrix}]]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Nach dem Durchlaufen des vertikalen Ebenenpolarisators (3) sind die verbleibenden Photonen jedoch alle vertikal polarisiert (4) und weisen eine reine Zustandsdichtematrix auf:

ρ_{rein} = 1 (\frac{| R. ⟩ + | L. ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R. | + ⟨ L. |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R. ⟩ - - | L. ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R. | - - ⟨ L. |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

In der Basis { | R ⟩ + | L $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Der Einzel-Qubit-Fall:

In diesem Fall lautet die Dichtematrix einfach:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

$\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

Die Dichtematrix lautet einfach:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Dies ist sehr ähnlich zu 'Fall 2' oben, daher habe ich die Berechnungen nicht gezeigt. Sie können Fragen in den Kommentaren stellen, wenn dieser Teil unklar erscheint.

$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

$\rho$ $\rho = \rho^2$

Obligatorische Übungen:

$\text{diag}(1,0,0,...)$

Quellen & Referenzen :

[1] : https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2] : https://physics.stackexchange.com/a/158290

Bildnachweis :

Benutzer Kaidor auf Wikimedia

— Sanchayan Dutta
quelle

Es ist zunächst etwas verwirrend, was Sie als Ihre Ausgangssituation betrachten. Vielleicht sollten Sie | L> und | R> auf | H> und | V> umschalten (wobei der Polarisator auf D eingestellt ist)? Während es technisch gesehen in gewisser Hinsicht alles dasselbe ist, denke ich, dass es natürlicher ist, über Polarisatoren auf der H, V-Basis nachzudenken.

— Steven Sagona

Ich denke, diese Frage übersieht den grundlegendsten Aspekt des Unterschieds zwischen rein und gemischt, und das heißt, dass sich gemischte Zustände nicht quantenmechanisch verhalten. Sie sagen, dass Zustände klassische Gemische sind, aber Sie weisen nicht darauf hin, wie sich Überlagerungszustände quantenmechanisch verhalten (was nicht trivial ist). Wenn Sie beispielsweise etwas in einer 1-Qubit-Überlagerung haben, besteht für jede Option auch eine 50/50-Chance. Wie unterscheidet sich dieser Zustand von einem klassischen? Ich denke, zu zeigen, wie wir "Quanteninterferenz" eines Überlagerungszustands sehen können, ist, wie man den Unterschied richtig veranschaulicht.

— Steven Sagona

^ Diese Idee wird hier ein wenig diskutiert: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@StevenSagona Danke, dass du darauf hingewiesen hast. Ich werde meine Antwort aktualisieren.

— Sanchayan Dutta

Dichtematrizen für reine und gemischte Zustände

Motivation

Reine und gemischte Staaten

Die Motivation hinter Dichtematrizen [1] :

Beispiel: Lichtpolarisation

Erhalten der Dichtematrix [2] :

Berechnung der Dichtematrix:

Der Einzel-Qubit-Fall:

Obligatorische Übungen:

Die Motivation hinter Dichtematrizen ^[1] :

Erhalten der Dichtematrix ^[2] :