Warum erzeugt (fast) jedes Hamiltonianerpaar durch wiederholte Kommutierung den gesamten Raum der hermitianischen Matrizen?

In [1] wird das Problem der Simulation eines Hamiltonianers unter Verwendung wiederholter Anwendungen eines anderen Satzes von Hamiltonianern diskutiert.

Insbesondere seien und ein Paar hermitischer Operatoren und die Algebra durch wiederholte Kommutierung aus erzeugt wird . $A$ $B$ $\mathcal L$ $A, B$ $^{\mathbf{(\dagger)}}$

Der Autor fragt dann (erster Absatz der dritten Seite), was für ein beliebiges Paar von Observablen und , und argumentiert, dass der Raum aller hermitianischen Matrizen ist, es sei denn (zitiert aus dem Papier) sowohl als auch liegen in einer dimensionalen einheitlichen Darstellung einer anderen Lie-Gruppe als . $\mathcal L$ $A$ $B$ $\mathcal L$ $e^{iA t}$ $e^{iB t}$ $n$ $U(n)$

Ich bin mit der Theorie der Lie-Algebren nicht allzu vertraut, daher ist diese Aussage für mich ziemlich kryptisch. Wie kann dies expliziter gezeigt werden? Gibt es einen direkteren Weg, um diese Tatsache zu zeigen?

$(\dagger)$ $A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1] Lloyd 1995, Fast jedes Quantenlogiktor ist universell , Link zu PRL .

simulation

— glS
quelle

F r e e_{2}

$Free_2$

†

$\dagger$

ρ

$\rho$

ρ (A)

$\rho (A)$

@AHusain das klingt nach etwas, das es wert ist, eine Antwort zu sein (für mich nicht leicht verständlich, aber trotzdem ..)!

— glS

Ich bin mit der Theorie der Lie-Algebren nicht allzu vertraut, daher ist diese Aussage für mich ziemlich kryptisch. Wie kann dies expliziter gezeigt werden? Gibt es einen direkteren Weg, um diese Tatsache zu zeigen?

Etwa zur gleichen Zeit haben David Deutsch et al . hat in dieser Arbeit dasselbe bewiesen: Universalität in der Quantenberechnung (1995) , jedoch ohne jemals das Wort "Algebra" oder "Lüge" in der gesamten Arbeit zu verwenden. Der Beweis beginnt auf Seite 3 und der Hauptpunkt liegt bei Gl. 9, die die gleiche Gleichung ist, die in Seth Lloyds Artikel erscheint, aber hier wird sie ohne Bezugnahme auf "Lie-Algebren" erklärt. Gl. 9 ist eine Anwendung dessen, was wir in der Physik oft nur als " Traberaufteilung " bezeichnen. Es wurde fast 100 Jahre zuvor von Sophus Lie niedergeschrieben, aber Sie müssen nichts über Lie-Algebren oder sogar Vektorräume wissen, um die Formel wie in Gl. 9.

— user1271772
quelle

Gern geschehen :) Hoffe es hilft!

— user1271772

Warum sollte dies die Frage beantworten? In der Arbeit sind H1 und H2 miteinander verbunden (durch einen Tausch), so dass sie genau NICHT unabhängig erscheinen, wie in der Frage gestellt!

— Norbert Schuch