Wie zeige ich, dass ein Zwei-Qubit-Zustand ein verwickelter Zustand ist?

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Der Glockenzustand ist ein verwickelter Zustand. Aber warum ist das so? Wie beweise ich das mathematisch? $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$

entanglement tensor-product

— nbro
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Definition

Ein Zwei-Qubit-Zustand ist nur dann ein verwickelter Zustand, wenn nicht zwei Ein-Qubit-Zustände und so dass , wobei das Tensorprodukt und . $|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$ $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ $|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$ $|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$ $\otimes$ $\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$

Um zu zeigen, dass der Bell-Zustand ein verwickelter Zustand ist, müssen wir einfach zeigen, dass es keine zwei Ein-Qubit-Zustände und so dass . $|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$ $|a\rangle$ $|b\rangle$ $|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$

Beweis

Nehme an, dass

$\begin{aligned} | Φ^{+} ⟩ & = | a ⟩ \otimes | b ⟩ \\ = (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (γ | 0 ⟩ + λ | 1 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$
Wir können jetzt einfach die Verteilungseigenschaft anwenden, um zu erhalten

$\begin{aligned} | Φ^{+} ⟩ & = \dots \\ = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
Dies muss gleich sein mit , wir müssen die Koeffizienten , , und , so dass $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) & = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
Beachten Sie, dass wir im Ausdruck beide behalten wollen. und . Daher können und die die Koeffizienten von , nicht Null sein; Mit anderen Worten, wir müssen und . In ähnlicher Weise und , die die komplexen Zahlen multiplizieren kann nicht Null sein, dh und . Also alle komplexen Zahlen $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$ $|00\rangle$ $|11\rangle$ $\alpha$ $\gamma$ $|00\rangle$ $\alpha \neq 0$ $\gamma \neq 0$ $\beta$ $\lambda$ $|11\rangle$ $\beta \neq 0$ $\lambda \neq 0$ $\alpha$ , , und müssen sich von Null unterscheiden. $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

Um jedoch den Glockenzustand , wollen wir und loswerden . Eine der Zahlen (oder beide) multipliziert (und ) im Ausdruck , dh und (bzw. und ) müssen gleich Null sein. Aber wir haben gerade gesehen, dass , , und $|\Phi^{+}\rangle$ $|01\rangle$ $|10\rangle$ $|01\rangle$ $|10\rangle$ $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$ $\alpha$ $\lambda$ $\beta$ $\gamma$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$ müssen alle von Null verschieden sein. Wir können also keine Kombination von komplexen Zahlen , , und so dass $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\lambda$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) & = (α γ | 00 ⟩ + α λ | 01 ⟩ + β γ | 10 ⟩ + β λ | 11 ⟩) \end{aligned}$ $\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$
Mit anderen Worten, wir sind nicht in der Lage, als Tensorprodukt von zwei Ein-Qubit-Zuständen auszudrücken . Daher ist ein verwickelter Zustand. $|\Phi^{+}\rangle$ $|\Phi^{+}\rangle$

Wir können einen ähnlichen Beweis für andere Bell-Staaten erbringen oder generell, wenn wir beweisen wollen, dass ein Staat verwickelt ist.

— nbro
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Wow, du hast deine Frage mit einem schönen, verständlichen Beweis beantwortet. Nicht etwas, das man jeden Tag sieht. Das hat mir geholfen, dir zu danken.

— YungGun

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Ein zwei qudit reinen Zustand trennbar ist , wenn und nur wenn sie in der Form geschrieben werden kann für beliebige einzelne qudit Zustände und . Ansonsten ist es verwickelt.

| Ψ ⟩ = | ψ ⟩ | ϕ ⟩

$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

Um festzustellen, ob der reine Zustand verwickelt ist, könnte man eine Brute-Force-Methode verwenden, um zu versuchen, befriedigende Zustände und , wie in dieser Antwort. Dies ist unelegant und im Allgemeinen harte Arbeit. Ein einfacherer Weg, um zu beweisen, ob dieser reine Zustand verwickelt ist, ist die Berechnung der Matrix reduzierter Dichte für eines der Qudits, dh durch Aufspüren des anderen. Der Zustand ist nur dann trennbar, wenn Rang 1 hat. Ansonsten ist er verwickelt. Mathematisch können Sie die Rangbedingung einfach testen, indem Sie auswerten. $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\rho$ $\rho$ $\text{Tr}(\rho^2)$ . Der ursprüngliche Zustand ist nur dann trennbar, wenn dieser Wert 1 ist. Andernfalls ist der Zustand verwickelt.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie haben einen reinen trennbaren Zustand $|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$ . Die verringerte Dichte Matrix auf $A$ ist

ρ_{A} = {Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = | ψ ⟩ ⟨ ψ |,

$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$ und Somit haben wir einen trennbaren Zustand.

Tr (ρ_{A}^{2}) = Tr (| ψ ⟩ ⟨ ψ | \cdot | ψ ⟩ ⟨ ψ |) = Tr (| ψ ⟩ ⟨ ψ |) = 1.

$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$

Wenn wir in der Zwischenzeit , dann ist und Da dieser Wert nicht 1 ist, haben wir einen verwickelten Zustand. $|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$

ρ_{EIN} = {Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |) = \frac{1}{2} ich

$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$

Tr (ρ_{EIN}^{2}) = \frac{1}{4} Tr (ich \cdot ich) = \frac{1}{2}

$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$

Wenn Sie wissen möchten, wie Verstrickungen in gemischten Zuständen (nicht in reinen Zuständen) erkannt werden, ist dies weniger einfach, aber für zwei Qubits gibt es eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Trennbarkeit: Positivität bei der partiellen Transponierung .

— DaftWullie
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+1 Dies ist eine viel elegantere Methode als der Brute-Force-Algorithmus.

— Sanchayan Dutta

Was sind

und

? Sind das nur die qudits selbst?

A

$A$

B

$B$

— Dohleman,

@Dohleman Ja, sie sind nur Bezeichnungen für die beiden Teile des Systems, wobei ein Teil von A (Alice) und der andere von B (Bob) gehalten wird. In diesem Fall sind es die beiden qudits.

— DaftWullie