Ich lese gerade Quantenberechnung und Quanteninformationen und bin mir nicht sicher, ob ich diese Übung richtig verstehe (auf Seite 57):

Aufgabe 1.2: Erklären Sie, wie ein Gerät bei Eingabe eines von zwei nicht orthogonalen Quantenzuständen oder | & phiv; ⟩ korrekt den Zustand identifiziert wird , könnte dazu verwendet werden , eine Vorrichtung zu bauen , die die Zustände geklont | & psgr; ⟩ und | & phiv; ⟩ , unter Verletzung des No-Cloning-Theorems. Erklären Sie umgekehrt, wie eine Vorrichtung zum Klonen verwendet werden kann, um nicht orthogonale Quantenzustände zu unterscheiden.$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$

Der erste Teil erscheint mir ziemlich einfach: Sobald der Staat als identifiziert wurde & psgr; ⟩ oder | & phgr; ⟩ , bereiten gerade einen identischen Zustand durch welche Mittel auch immer wir zur Verfügung haben, effektiv den ursprünglichen Zustand zu klonen.$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

Umgekehrt konnte ich nichts Besseres erreichen:

1. Klonen Sie den zu identifizierenden Status mal$n$

2. Führen Sie eine Messung an jedem der Kopien in der Basis , wo | ψ ′ ⟩ ist ein zu | orthogonaler Zustand & psgr; $(|\psi\rangle, |\psi'\rangle)$$|\psi'\rangle$$|\psi\rangle$

3. Wenn eine der Messungen ergibt $|\psi'\rangle$ , dann wissen wir mit , dass der ursprüngliche Zustand $|\phi\rangle$

4. Wenn alle Messungen ergeben , können wir behaupten , dass der ursprüngliche Zustand | & psgr; ⟩ mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit gleich zu: | ⟨ & Psgr; | & phgr; ⟩ | 2 n , die durch Erhöhen von n beliebig klein gemacht werden kann$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\langle\psi|\phi\rangle|^{2n}$$n$

Die Art und Weise, wie die Übung formuliert ist, lässt mich jedoch denken, dass es eine deterministische Art der Unterscheidung zwischen und | ϕ ϕ eine Klonmaschine gegeben. Ist das tatsächlich der Fall?$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

Auf diese Weise würde ich zunächst die Frage beantworten. Es gibt jedoch einige Verbesserungen, die Sie vornehmen könnten.

Endgültige Antwort

Wie Sie betonen, ist das ärgerliche Merkmal, dass Sie niemals endgültig sein können, ob Sie den Status .$|\psi\rangle$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie Sie diese Gefahr vermeiden können.

Die erste Option besteht darin, zwei verschiedene Messgrundlagen zu haben, zwischen denen Sie wählen können. Der erste ist wie von Ihnen angegeben. Die zweite ist die komplementäre Ansicht , wo Sie verwenden .$(|\phi\rangle,|\phi'\rangle)$

Die zweite Möglichkeit ist die Einführung eines POVM. (Ich habe meine Kopie von Nielsen und Chuang nicht zur Hand und erinnere mich nicht, ob sie zu diesem Zeitpunkt eingeführt wurden.) POVMs können mehr als zwei Messoperatoren haben und sind oft recht gut darin, "den Zustand" zu sagen auf jeden Fall war nicht „so dass Sie einen Operator machen könnte, der sagt : ‚der Staat war auf jeden Fall nicht | & psgr; ⟩ ‘, ein anderer, der sagt“ definitiv nicht | & phgr; $|x\rangle$$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$ ‘und ein drittes nur der Vollständigkeit halber.

Beide Optionen sind Varianten eines Themas, und technisch müssen Sie möglicherweise beide für immer ausführen, bevor Sie eine endgültige Antwort erhalten, aber die erwartete Anzahl von Versuchen ist begrenzt.

Bessere Ergebniswahrscheinlichkeiten

Sie können tatsächlich eine bessere Messbasis als die von Ihnen beschriebene auswählen, um schneller zu einer Schlussfolgerung zu gelangen (aber Sie erhalten sicherlich keine endgültige Antwort). Versuchen Sie, über die beiden Zustände denken und | & phgr; $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$auf der Blochkugel. Sie können immer eine Ebene finden, die durch beide Punkte und den Mittelpunkt der Kugel verläuft. Auf dieser Ebene gibt es einen Kreis mit zwei Punkten, die den beiden Zuständen entsprechen. Zeichnen Sie Linien, die diese Punkte mit der Mitte verbinden. Konstruieren Sie als Nächstes einen Durchmesser des Kreises, der mit den beiden gerade gezeichneten Linien gleiche Winkel bildet. Dies würde die Messbasis definieren, die Ihnen absolut nichts darüber sagt, welchen der beiden Zustände Sie haben. Wenn Sie jedoch den Durchmesser konstruieren, der senkrecht zu dieser Linie ist, ist dies derjenige, der zumindest in einem einzigen Schuss die maximale Wahrscheinlichkeit hat, zwischen den beiden Zuständen zu unterscheiden.

$|\Psi\rangle$$\theta$$|\langle\psi|\phi\rangle|$

$k$$k$