Ist Verschränkung transitiv?

Ist Verschränkung im mathematischen Sinne transitiv ?

Konkret ist meine Frage:

Man betrachte 3 Qubits $q_1, q_2$ und $q_3$ . Annehmen, dass

$q_1$ und $q_2$ sind verwickelt, und das
$q_2$ und $q_3$ sind verschränkt

Sind dann $q_1$ und $q_3$ verstrickt ? Wenn ja warum? Wenn nicht, gibt es ein konkretes Gegenbeispiel?

Auf meinen Begriff der Verstrickung:

Qubits $q_1$ und $q_2$ sind verschränkt, wenn nach dem Verfolgen von $q_3$ die Qubits $q_1$ und $q_2$ verschränkt sind (das Verfolgen von entspricht dem Messen von und dem Verwerfen des Ergebnisses). $q_3$ $q_3$
Qubits und sind verschränkt, wenn nach dem Aufspüren von die Qubits und verschränkt sind. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
Qbits und sind verschränkt, wenn nach dem Aufspüren von die Qbits und verschränkt sind. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

Fühlen Sie sich frei, einen anderen vernünftigen Begriff der Verstrickung zu verwenden (nicht unbedingt den oben genannten), solange Sie diesen Begriff eindeutig angeben.

entanglement

— Peter
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Können Sie die letzte Aussage bestätigen? Nach Ihrer Frage habe ich eine ähnliche Aussage erwartet, aber mit den Bezeichnungen in einer anderen Reihenfolge (eine Aussage über die Verschränkung von q1 und q3 nach der Messung von q2).

— Agaitaarino

@agaitaarino Ich habe den Teil auf "Verstrickung" aktualisiert, es sollte jetzt klarer sein ...

— Peter

Ich habe lateinische Quadrate als eine Wahrscheinlichkeitsmatrix betrachtet, in der die Elemente für ein beliebiges eindimensionales Array "verschränkt" sind, da die Wahrscheinlichkeiten für ein bestimmtes ausgedrücktes Element voneinander abhängig sind. Wenn Sie Dimensionen hinzufügen, schneiden sich diese eindimensionalen Arrays orthogonal mit anderen eindimensionalen Arrays und erweitern die "Verschränkung". (Ich vermute, dies ist ungefähr so weit draußen im Unkraut, wie es bei atypischen Begriffen möglich ist, aber ich bin nicht der erste, der die Idee "Ähnlichkeiten im Geist" zwischen QT und lateinischen Quadraten / Sudoku aufwirft.) Vielen Dank Sie für diese Frage!

— DukeZhou

Nachdem Sie nun klargestellt haben, dass Sie das Messergebnis verwerfen, ist dies nicht die lokalisierbare Verstrickung, von der ich dachte, dass Sie darüber gesprochen haben, sondern der Standardbegriff und das Ergebnis verwerfen.

— DaftWullie

@DaftWullie Danke! Ich habe die Frage entsprechend aktualisiert

— Peter

Antworten:

TL; DR: Es hängt davon ab, wie Sie die Verschränkung an einem Paar von Qubits messen. Wenn Sie die zusätzlichen Qubits ausfindig machen, dann "Nein". Wenn Sie die Qubits messen (mit der Freiheit, die optimale Messbasis zu wählen), dann "Ja".

Lassen ein reiner Quantenzustand des Qubits 3, die mit A, B und C ist , die wir sagen , dass A und B sind verstrickt wenn $|\Psi\rangle$ unter der Wirkung der nicht positiv ist Teiltransponierte Karte. Dies ist eine notwendige und ausreichende Bedingung zum Erfassen einer Verschränkung in einem Zwei-Qubit-System. Der Teilspurenformalismus entspricht der willkürlichen Messung von Qubit C und dem Verwerfen des Ergebnisses. $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

Es gibt eine Klasse von Gegenbeispielen, die zeigen, dass Verschränkung nicht transitiv ist Verfügung gestellt. Wenn Sie Qubitoder Qubitaufspüren, erhalten Sie beide Male die gleiche Dichtematrix:

| Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

Sie können den Teil Transponieren nehmen davon (es auf dem ersten System zu nehmen ist das sauberste):

ρ_{EIN C} = ρ_{EIN B} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

nun die Determinante nehmen (die ist gleich dem Produkt der Eigenwerte). Sie erhalten

ρ^{P T} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ | + | 10 ⟩ ⟨ 0 ϕ | ⟨ ϕ | 0 ⟩ + | 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 | ⟨ 0 | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

die negativ ist, so muss es ein negativer Eigenwert sein. Somit sind

und

verwickelte Paare. Inzwischen ist

det (ρ^{P T}) = - \frac{1}{16} | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2} (1 - | ⟨ 0 | ϕ ⟩ |^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

Da dies eine gültige Dichtematrix ist, ist sie nicht negativ. Die partielle Transponierung ist jedoch nur sich selbst gleich. Es gibt also keine negativen Eigenwerte und

ist nicht verwickelt.

ρ_{B C} = \frac{1}{2} (| 00 ⟩ ⟨ 00 | + | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

Lokalisierbare Verschränkung

Man könnte stattdessen über die lokalisierbare Verstrickung sprechen . Vor einer weiteren Klärung dachte ich, das OP beziehe sich darauf. In diesem Fall kann ein Qubit nicht nachverfolgt, sondern auf der Grundlage Ihrer Wahl gemessen und die Ergebnisse für jedes Messergebnis separat berechnet werden. (Es gibt später einen Mittelungsprozess, der für uns hier jedoch nicht relevant ist.) In diesem Fall geht es in meiner Antwort speziell um reine Zustände, nicht um gemischte Zustände.

Der Schlüssel hier ist, dass es verschiedene Klassen von verschränkten Zuständen gibt. Für 3 Qubits gibt es 6 verschiedene Arten von reinen Zuständen:

ein vollständig trennbarer Zustand
3 Arten, bei denen zwischen zwei Parteien ein verwickelter Zustand und bei der dritten ein trennbarer Zustand besteht
ein W-Zustand
ein GHZ-Staat

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

| W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (| 001 ⟩ + | 010 ⟩ + | 100 ⟩) | G H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 000 ⟩ + | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— DaftWullie
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Danke, das klärt schon einiges auf. Könnten Sie mich auf das "Standard" -Maß der Verschränkung hinweisen? Vielleicht möchte ich das in meiner Frage explizit verwenden.

— Peter

@ Peter: Mal sehen, ob die bearbeitete Version noch mehr hilft.

— DaftWullie

Vielen Dank für diese Antwort! Kann ich in diesem Zusammenhang eine naive Frage zu Symmetriemitteln stellen? "Beide Repräsentanten sind im Austausch der Teilchen symmetrisch." (Ich interessiere mich sehr für verschiedene Konzepte der Symmetrie im Allgemeinen.)

— DukeZhou

@DaftWullie: Angesichts der Tatsache, dass Ihre Antwort "Nein, Verschränkung ist nicht transitiv, auch auf drei Qubit-Systemen" zu sein scheint, sollten Sie Ihre Antwort vielleicht verdichten, um dies ein bisschen offensichtlicher zu machen?

— Niel de Beaudrap

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

Dies ist keine Antwort, sondern nur einige Hintergrundinformationen, die wichtig sind, um zu vermeiden, dass diese Art von Fragen "nicht einmal falsch" sind.

"Verschränkung" ist nicht alles oder nichts. Nur zu sagen, "q1 ist mit q2 verstrickt und q2 ist mit q3 verstrickt", reicht nicht aus, um die Antwort auf Fragen wie "Wenn ich q3 messe, wird q1 immer noch mit q2 verstrickt sein?" Verschränkung wird beim Umgang mit größeren Systemen kompliziert . Sie müssen wirklich den spezifischen Zustand und die Messung kennen und wissen, ob Sie vom Ergebnis der Messung abhängig sein dürfen.

Es kann der Fall sein, dass q1, q2, q3 als Gruppe verschränkt sind, aber wenn Sie eines der Qubits aufspüren, beschreibt die Dichtematrix der verbleibenden beiden einen rein klassisch korrelierten Zustand. (ZB passiert dies mit GHZ-Staaten.)

Sie sollten sich der Monogamie der Verstrickung bewusst sein . Ab einer bestimmten Schwelle muss durch Erhöhen der Stärke der Verschränkung zwischen q1 und q2 die Stärke der Verschränkung zwischen q1 und q3 (und entsprechend q2 und q3) verringert werden.

— Craig Gidney
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yay für den Hinweis auf die Monogamie der Verstrickung!

— Agaitaarino

@agaitaarino was zu "Squashed Entanglement" und Von Neumann Entropie führt!

— DukeZhou

Ich habe folgendes gelesen Freudenthal-Dreifachklassifikation der Drei-Qubit-Verschränkung habe :

"Dür et al. ( Drei Qubits können auf zwei ungleiche Arten verschränkt werden ) verwendeten einfache Argumente bezüglich der Erhaltung von Rängen von Matrizen mit reduzierter Dichte. Es gibt nur sechs Drei-Qubit-Äquivalenzklassen:

Null (Die triviale Null-Verschränkungsbahn, die verschwindenden Zuständen entspricht)
Separierbar (Eine weitere Null-Verwicklungs-Umlaufbahn für vollständig faktorisierbare Produktzustände)
Biseparabel (Drei Klassen von zweiteiligen Verschränkungen: A-BC, B-AC, C-AB)
W (Drei-Wege-Verschränkungszustände, die Bell-Typ-Ungleichungen nicht maximal verletzen) und
GHZ (Bellsche Ungleichungen maximal verletzen)

Nach meinem Verständnis lautet die Antwort auf Ihre Frage " Ja" : Wenn A und B miteinander verflochten sind und B und C miteinander verflochten sind, befinden Sie sich notwendigerweise in einem der drei miteinander verflochtenen Zustände, sodass A und C ebenfalls miteinander verflochten sind.

— agaitaarino
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