Warum ist es entscheidend, dass der anfängliche Hamiltonianer bei der adiabatischen Quantenberechnung nicht mit dem endgültigen Hamiltonianer pendelt?

Ich habe in vielen Quellen und Büchern zu lesen adiabatische Quantenberechnung (AQC) , dass es für das entscheidende ist anfänglichen Hamilton - Operator H i nicht mit dem pendeln endgültigen Hamilton - H f , dh [ H i , H f ] ≠ 0 . Aber ich habe noch nie ein Argument dafür gesehen, warum es so wichtig ist.$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Wenn wir eine lineare Zeitabhängigkeit der Hamilton - Operator des AQC nehmen ist H ( t ) = ( 1 - t

Meine Frage lautet also: Warum ist es entscheidend, dass der anfängliche Hamiltonianer nicht mit dem endgültigen Hamiltonianer pendelt?

In der adiabatischen Qualitätskontrolle codieren Sie Ihr Problem in einem Hamilton-Operator, sodass Ihr Ergebnis aus dem Grundzustand extrahiert werden kann. Es ist schwierig, diesen Grundzustand direkt vorzubereiten. Deshalb bereiten Sie stattdessen den Grundzustand eines 'einfachen' Hamilton-Operators vor und interpolieren dann langsam zwischen den beiden. Wenn Sie langsam genug fahren, bleibt der Zustand Ihres Systems im Grundzustand. Am Ende Ihres Prozesses haben Sie die Lösung.

Dies funktioniert nach dem adiabatischen Theorem . Damit der Satz gilt, muss zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand eine Energielücke bestehen. Je kleiner die Lücke wird, desto langsamer müssen Sie interpolieren, um ein Vermischen zwischen dem Grundzustand und den ersten angeregten Zuständen zu verhindern. Wenn sich die Lücke schließt, kann ein solches Mischen nicht verhindert werden und Sie können nicht langsam genug fahren. Die Prozedur schlägt an diesem Punkt fehl.

Wenn das anfängliche und das letzte Hamilton-Signal pendeln, bedeutet dies, dass sie die gleichen Energieeigenzustände haben. Sie sind sich also einig darüber, welchen Staaten Energie zugewiesen wird, und sind sich nur nicht einig über die Energien, die sie erhalten. Das Interpolieren zwischen den beiden Hamiltonianern verändert nur die Energien. Der endgültige Grundzustand wäre daher am Anfang ein angeregter Zustand gewesen, und der ursprüngliche Grundzustand wird am Ende angeregt. Irgendwann, wenn sie aneinander vorbeigehen, werden die Energien dieser Zustände gleich sein, und so schließt sich die Lücke zwischen ihnen. Dies reicht aus, um zu sehen, dass sich die Energielücke irgendwann schließen muss.

Nicht pendelnde Hamiltonianer zu haben, ist daher eine notwendige Bedingung, um die Lücke offen zu halten, und damit für AQC.

Wenn zwei Matrizen (in diesem Fall Hamilton) pendeln, haben sie die gleichen Eigenvektoren. Wenn Sie also einen Grundzustand des ersten Hamilton-Operators vorbereiten, bleibt dieser (grob gesagt) während der gesamten adiabatischen Entwicklung ein Eigenzustand, und Sie erhalten genau das heraus, was Sie eingegeben haben. Das hat keinen Wert.

Wenn Sie etwas strenger sein möchten, kann es sein, dass Ihr anfänglicher Hamilton-Operator eine Entartung aufweist, die durch den zweiten Hamilton-Operator aufgehoben wird, und Sie hoffen, dass sich das System zu einem einzigartigen Grundzustand entwickelt. Es ist jedoch zu beachten, dass die Entartung in dem Moment aufgehoben wird, in dem der zweite Hamilton-Wert ungleich Null ist. Was auch immer die Wirkung sein mag, es ist eine sofortige. Ich glaube, dass Sie keine richtige adiabatische Entwicklung bekommen. Stattdessen müssen Sie Ihren Anfangszustand als eine Überlagerung der neuen Eigenzustände schreiben, und diese beginnen sich im Laufe der Zeit zu entwickeln, aber Sie erhöhen niemals die Überlappung Ihres Zustands mit dem Zielzustand (dem Grundzustand).

$\sigma^Z$$t$

Darüber hinaus kann der treibende Hamilton-Operator, selbst wenn er die strengen Grenzen der AQC überschreitet (z. B. Quantentempern mit offenem System, QAOA usw.), keine Übergänge zwischen den Eigenzuständen des problematischen Hamilton-Operators induzieren, sondern nur die Phase der Amplituden in der Wellenfunktion ändern ; und Sie möchten einen Fahrer, der in der Lage ist, Spin-Flips auszulösen, um den Suchraum zu erkunden.

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Dies ist gegeben und erklärt in Gl. 2 von Tanburn et al. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Das adiabatische Theorem gilt also immer noch, aber wenn es besagt, dass sich der Hamilton-Operator "langsam genug" ändern muss, muss sich dieser "unendlich langsam" ändern, was bedeutet, dass Sie mit AQC wahrscheinlich nie die Antwort erhalten werden.