Was passiert, wenn zwei getrennt verschränkte Qubits durch ein C-NOT-Gate geleitet werden?

Angenommen, ich transformiere einen Zustand wie folgt:

Ich beginne mit dem Status . $\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
Ich verwickle das 1. und 2. Qubit (mit einem H-Gate und C-NOT).
Ich verwickle dann das 3. und 4. Qubit auf die gleiche Weise.

Wenn ich versuche, H-Gate und C-NOT auf die Nachwörter des 2. und 3. Qubits anzuwenden, wird sich das gesamte System verwickeln? Was passiert in diesem Fall mit dem 1. und 4. Qubit?

( Cross-posted von Physics.SE )

quantum-gate entanglement

— Midhun XDA
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Cross-posted von Physics SE .

— Emilio Pisanty

Ich habe Ihren Beitrag auf die erste Frage konzentriert, die Sie gestellt haben. Dies ist die interessantere der beiden. Sie sollten versuchen, nicht mehr als eine Frage pro Beitrag zu stellen, es sei denn, diese sind sehr eng miteinander verbunden.

— Niel de Beaudrap

Es wäre auch schön, wenn die Frage eine explizite Quantenschaltung enthalten würde, um die angewendeten Gates eindeutig zu visualisieren.

— Agaitaarino

Vielen Dank für Ihre Fragen! Wie andere gesagt haben, ist es besser, eine Frage pro Beitrag zu haben. Wenn Sie die zweite Frage als separate Frage erneut veröffentlichen, erhalten Sie sicher auch eine ausführliche Antwort darauf. Die Antwort von DaftWullie macht aber auch einen guten Job.

— James Wootton

Vielen Dank für Ihre sehr schnelle Antwort. Ich bin ein Neuling in diesem Bereich der Quantencomputer. Ich habe mir kürzlich die Wiedergabeliste "Quantencomputer für den bestimmten" [Link] ( youtu.be/X2q1PuI2RFI?list=PL1826E60FD05B44E4 ) von youtube angesehen. Jetzt versuche ich, eine Programmierbibliothek zu erstellen, um die Qualitätskontrolle zu emulieren (ich weiß, dass es bereits solche gibt). Kann mir jemand eine Quelle verlinken, damit ich tatsächlich alle technischen Dinge lernen kann? Ich kannte den Zweck von 'ρ' erst nach der Antwort. (

— Muss

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

(| 00 ⟩ + | 11 ⟩) \otimes (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) / 2

$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$

(| 0 ⟩ (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) + | 1 ⟩ (| 0 ⟩ - | 1 ⟩)) \otimes (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) / (2 \sqrt{2})

$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$

(| 0 ⟩ \otimes (| 0 ⟩ \otimes (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) + | 1 ⟩ \otimes (| 10 ⟩ + | 01 ⟩)) + | 1 ⟩ \otimes (| 0 ⟩ \otimes (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) - | 1 ⟩ \otimes (| 10 ⟩ + | 01 ⟩))) / (2 \sqrt{2})

$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$ Ordnen wir dies leicht neu an als Beachten Sie, dass wir den vollständigen Status des gesamten Systems benötigen. Sie können aufgrund der Verschränkung nicht wirklich getrennt über die Zustände der Qubits 1 und 4 sprechen.

| Ψ ⟩ = ((| 0 ⟩ - | 1 ⟩) | 1 ⟩ (| 10 ⟩ + | 01 ⟩) + (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | 0 ⟩ (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)) / (2 \sqrt{2})

$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$

Die Frage "Ist es noch verwickelt?" Ist direkt "Ja", aber das ist eigentlich eine Trivialität eines viel komplexeren Themas. Es ist in dem Sinne verwickelt, dass es sich nicht um einen Produktzustand handelt . $\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Ein einfacher Weg, um zu sehen, dass dieser Zustand verwickelt ist, besteht darin, eine Zweiteilung zu wählen, dh eine Aufteilung der Qubits in zwei Parteien. Nehmen wir zum Beispiel Qubit 1 als eine Partei (A) und alle anderen als Partei B. Wenn wir den reduzierten Zustand von Partei A berechnen, müsste ein Produktzustand (entwirrt) einen reinen Zustand ergeben. Wenn der reduzierte Zustand nicht rein ist, dh einen Rang größer als 1 hat, ist der Zustand definitiv verwickelt. In diesem Fall hat beispielsweise Rang 2. Tatsächlich nicht Es spielt keine Rolle, was Sie zwischen Qubits 2 und 3 als

ρ_{A} = Tr (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = \frac{I}{2},

$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$

ρ_{A}

$\rho_A$ ist unabhängig von dieser Einheit; es kann die mit Qubit 1 erzeugte Verschränkung nicht entfernen (möglicherweise nur zwischen Qubits 2 und 3 verteilen). Die Tatsache, dass Sie verschiedene Bipartitionen betrachten müssen, um zu sehen, welche Qubits mit welchen verstrickt sind, zeigt bereits einen Teil der Komplexität. Für reine Zustände ist es ausreichend, jede der Bipartitionen von 1 Qubit mit dem Rest zu betrachten. Wenn jede dieser Matrizen mit reduzierter Dichte Rang 1 hat, ist Ihr gesamter Zustand trennbar.

Im Zusammenhang mit Ihrer Frage möchten Sie vielleicht Fragen der "Monogamie der Verschränkung" nachschlagen - je mehr verschränktes Qubit 1 mit Qubit 2 ist, desto weniger verwickelt ist Qubit 1 mit Qubit 3 (zum Beispiel), und das kann in quantifiziert werden verschiedene Möglichkeiten. Ebenso können Sie Fragen zu "Welche Art von Verstrickung gibt es?" Stellen. Ein Ansatz besteht darin, zu untersuchen, welche Arten von Verschränkungen in verschiedene Arten umgewandelt werden können (häufig als "SLOCC-Äquivalenzklassen" bezeichnet). Bei 3 Qubits wird beispielsweise zwischen W-Zustands-Verschränkung, die wie aussieht, und GHZ-Verschränkung, die wie aussieht, unterschieden sowie zweiteilige Verschränkung zwischen verschiedenen Qubit-Paaren und ein trennbarer Zustand auf der anderen Seite. $\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$ $\ket{000}+\ket{111}$

— DaftWullie
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