Bedeutung der Kirche des Höheren Hilbertraumes

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Der Begriff " Kirche des höheren Hilbert-Raums " wird in der Quanteninformation häufig bei der Analyse von Quantenkanälen und Quantenzuständen verwendet.

Was bedeutet dieser Begriff (oder alternativ, was bedeutet der Begriff "Zur Kirche des höheren Hilbert-Raums gehen"?)

— user3483902
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Können Sie eine Referenz für einen bestimmten Kontext posten? Wo haben Sie diesen Begriff gelesen? Vielen Dank.

— Andrew O

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Die Kirche des größeren (oder höheren oder größeren) Hilbert-Raums ist nur ein Trick, den manche Leute mögen (ich selbst eingeschlossen), um einige Operationen umzuschreiben.

Die allgemeinsten Operationen, die Sie für ein System aufschreiben können, werden durch vollständig positive Maps beschrieben, während wir Dinge gerne mit Unitaries beschreiben, was Sie immer tun können, indem Sie vom ursprünglichen Hilbert-Raum zu einem größeren wechseln (dh mehr Qubits hinzufügen). In ähnlicher Weise können Sie für Messungen allgemeine Messungen in projektive Messungen umwandeln, indem Sie den Hilbert-Raum vergrößern. Auch können gemischte Zustände als reine Zustände eines größeren Systems beschrieben werden.

Beispiel

Betrachten Sie die Karte, die ein Qubit benötigt und mit der Wahrscheinlichkeit, dass nichts bewirkt, und mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Bit-Flip-Operation anwendet : Dies ist keine Einheit, aber Sie können es als Einheit auf zwei Qubits beschreiben (dh indem Sie von einer Hilbert-Raumdimension 2 zu einer Hilbert-Raumdimension 4 wechseln) ). Dies funktioniert, indem ein zusätzliches Qubit im Zustand und ein von dem neuen Qubit kontrolliertes-nicht kontrolliertes-Verhalten durchgeführt wird und das ursprüngliche Qubit als Ziel ausgewählt wird. $1-p$ $p$ $X$

| ψ ⟩ ⟨ ψ | \mapsto (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X

$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$

\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩

$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$

| ψ ⟩ (\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩) \mapsto | Ψ ⟩ = \sqrt{1 - p} | ψ ⟩ | 0 ⟩ + \sqrt{p} (X | ψ ⟩) | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$ Um die Aktion des Systems nur auf dem ursprünglichen Qubit wiederherzustellen, zeichnen Sie das neue Qubit auf: Mit anderen Worten, Sie ignorieren einfach die Existenz des neuen Qubits, nachdem Sie das Unitary implementiert haben! Beachten Sie, dass dies nicht nur die Kirche des größeren Hilbert-Raums für Operationen demonstriert, sondern auch für Staaten - der Mischzustand kann durch Vergrößern des Hilbert-Raums in den reinen Zustand werden.

ρ = {T r}_{2} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X .

$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$

ρ

$\rho$

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$

— DaftWullie
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"Kirche des höheren Hilbertraums" ist ein Begriff, der von John Smolin geprägt wurde. Laut quantiki ist es:

für die Dilatationskonstruktionen von Kanälen und Zuständen, [...] die eine genaue Charakterisierung der Menge der zulässigen Quantenoperationen liefern

und um Wikipedia zu zitieren :

beschreiben [s] die Gewohnheit, jeden Mischzustand eines Quantensystems als einen rein verschränkten Zustand eines größeren Systems und jede irreversible Evolution als eine reversible (einheitliche) Evolution eines größeren Systems zu betrachten.

Siehe auch diese Physik.SE Antwort .

— Heide
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Ich fürchte, ich bin nicht die klügere Heide. Aber +1 für den Versuch trotzdem.

— John Duffield