Was bedeutet es für zwei Qubits, sich zu verwickeln?

Ich habe eine Art Online-Recherche über Qubits durchgeführt und die Faktoren, die sie berüchtigt machen, sind, dass Qubits gleichzeitig 1 und 0 haben können, und eine andere ist, dass Qubits irgendwie verwickelt werden können, so dass sie verwandte Daten in sich haben können, egal wie weit Sie sind (sogar auf gegenüberliegenden Seiten der Galaxien).

Beim Lesen auf Wikipedia habe ich eine Gleichung gesehen, die für mich immer noch schwer zu verstehen ist. Hier ist der Link zu Wikipedia .

Fragen:

1. Wie sind sie überhaupt verwickelt?

2. Wie beziehen sie ihre Daten?

Ein einfaches Beispiel : Angenommen , Sie zwei Qubits in bestimmten Staaten haben und | 0 ⟩ . Der kombinierte Zustand des Systems ist | 0 ⟩ & xotime ; | 0 ⟩ oder | 00 ⟩ in Kurzschrift.$|0\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle\otimes |0\rangle$$|00\rangle$

Wenn wir dann die folgenden Operatoren auf die Qubits anwenden (das Bild ist aus der Wiki-Seite für Superdense-Codierung ausgeschnitten ), ist der resultierende Zustand ein verwickelter Zustand, einer der Glockenzustände .

Zuerst im Bild haben wir das Hadamard-Gatter, das auf das erste Qubit einwirkt, das in einer längeren Form so dass es der Identitätsoperator auf dem zweiten Qubit ist.$H\otimes I$

Die Hadamard-Matrix sieht aus wie bei Bestellung der Basis{| 0⟩,| 1⟩}.

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

Nachdem also der Hadamard-Operator gehandelt hat, ist der Zustand jetzt

$$(H\otimes I)(|0\rangle\otimes|0\rangle)=H|0\rangle\otimes I |0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes (|0\rangle)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle)$$

Der nächste Teil der Schaltung ist ein gesteuertes Nicht-Gatter, das nur dann auf das zweite Qubit einwirkt, wenn das erste Qubit eine .$1$

Sie können als | darstellen 0 ⟩ ⟨ 0 | ⊗ I + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ⊗ X , wo | 0 ⟩ ⟨ 0 | ist ein Projektionsoperator auf das Bit 0 oder in Matrixform ( 1 0 0 0 ) . ähnlich | 1 ⟩ ⟨ 1 | ist ( 0 0 0 1 ) .$CNOT$$|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$$|0\rangle\langle0|$$0$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle\langle1|$$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Der Operator ist der Bit-Flip-Operator, der als ( 0 1 1 0 ) dargestellt wird .$X$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Insgesamt ist die - Matrix ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0$CNOT$$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\0 & 0 &1 & 0 \\\end{pmatrix}$

Wenn wir anwenden, können wir entweder die Matrixmultiplikation verwenden, indem wir unseren Zustand als Vektor schreiben ( $CNOT$, oder wir können einfach die Tensorproduktform verwenden.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 \end{pmatrix}$

$$CNOT (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|10\rangle))=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Wir sehen , dass für den ersten Teil des Staates das erste Bit ist 0 , so dass das zweite Bit in Ruhe gelassen wird; der zweite Teil des Staates | 10 ⟩ der erste Bit ist 1 , so dass das zweite Bit vom gekippt wird , 0 zu 1 .$|00\rangle$$0$$|10\rangle$$1$$0$$1$

Unser Endzustand ist die eine der vier Glocken Staaten ist die maximal verschränkten Zuständen sind.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$$

Um zu sehen, was es für sie bedeutet, sich zu verwickeln, beachten Sie, dass, wenn Sie den Zustand des ersten Qubits messen, sagen Sie, wenn Sie herausgefunden haben, dass es eine ist, dass das zweite Qubit auch eine 0 sein muss , weil Das ist unsere einzige Möglichkeit.$0$$0$

Vergleichen Sie mit diesem Zustand zum Beispiel:

$$\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle).$$

Wenn Sie messen, dass das erste Qubit eine Null ist, wird der Zustand auf 1 reduziert, wobei es immer noch eine 50-50-Chance gibt, dass das zweite Qubit eine0oder eine1 ist.$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|01\rangle)$$0$$1$

Hoffentlich gibt dies eine Vorstellung davon, wie Zustände verwickelt werden können. Wenn Sie ein bestimmtes Beispiel kennen möchten, wie das Verwickeln von Photonen oder Elektronen usw., müssen Sie sich überlegen, wie bestimmte Gatter implementiert werden können, aber Sie können die Mathematik trotzdem auf die gleiche Weise schreiben, wobei die und 1 unterschiedliche Dinge darstellen verschiedene körperliche Situationen.$0$$1$

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Update 1: Kurzanleitung zur QM / QC / Dirac-Notation

Normalerweise gibt es eine Standard-Berechnungsbasis (ortho-normal) für ein einzelnes Qubit, nämlich , sagen H = Spanne { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } ist der Vektorraum.$\{|0\rangle,|1\rangle\}$$\mathcal{H}=\operatorname{span}\{|0\rangle,|1\rangle\}$

In dieser Reihenfolge der Basis können wir identifizieren 0 ⟩ mit ( 1 0 ) und | 1 ⟩ mit ( 0 1 ) . Auf dieser Basis kann dann jeder einzelne Qubit-Operator in Matrixform geschrieben werden. ZB ein Bit Flip Operator X (nach pauli- σ x ), der | nehmen soll 0 ⟩ ↦ | 1 ⟩ und | 1 ⟩ ↦ | 0 ⟩ , kann geschrieben werden als ( 0 1 1 $|0\rangle$$\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$$|1\rangle$$\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$$X$$\sigma_x$$|0\rangle\mapsto |1\rangle$$|1\rangle \mapsto |0\rangle$ ist die erste Spalte der Matrix das Bild des ersten Basisvektors und so weiter.$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Wenn Sie mehr mitreden -qubits sollten sie in den Raum gehören H ⊗ n : = n - t i m e s ⏞ H ⊗ H ⊗ ⋯ ⊗ H . Eine Basis für diesen Raum ist durch Zeichenfolgen aus Nullen und Einsen gekennzeichnet, z. B. | 0 ⟩ & xotime ; | 1 ⟩ & xotime ; | 1 ⟩ & xotime ; ... & xotime ; | 0 ⟩ , die der Einfachheit halber wird in der Regel abgekürzt als | 011 ... 0 ⟩ .$n$$\mathcal{H}^{\otimes n}:=\overbrace{\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}\otimes\cdots\otimes \mathcal{H}}^{n-times}$$|0\rangle\otimes|1\rangle\otimes |1\rangle\otimes\ldots \otimes|0\rangle$$|011\ldots0\rangle$

Ein einfaches Beispiel für zwei Qubits, die Basis für , ist { | 0 ⟩ & xotime ; | 0 ⟩ , | 0 ⟩ & xotime ; | 1 ⟩ , | 1 ⟩ & xotime ; | 0 ⟩ , | 1 ⟩ & xotime ; | 1 ⟩ } oder in der Kurzschrift { | 00 ⟩ , | 01 ⟩ , | 10 ⟩ $\mathcal{H}^{\otimes 2}=\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$$\{|0\rangle\otimes|0\rangle,|0\rangle\otimes|1\rangle,|1\rangle\otimes|0\rangle,|1\rangle\otimes|1\rangle\}$ .$\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Basis zu ordnen, um Matrizen zu verwenden, aber eine natürliche Möglichkeit besteht darin, die Zeichenfolgen so zu ordnen, als wären sie Zahlen in Binärform, wie oben beschrieben. Zum Beispiel können Sie für Qubits die Basis als { | bestellen 000 ⟩ , | 001 ⟩ , | 010 ⟩ , | 011 ⟩ , | 100 ⟩ , | 101 ⟩ , | 110 ⟩ , | 111 ⟩ } $3$

$$\{|000\rangle,|001\rangle,|010\rangle,|011\rangle,|100\rangle,|101\rangle,|110\rangle,|111\rangle\}.$$

Der Grund, warum dies nützlich sein kann, ist, dass es mit dem Kronecker-Produkt für die Matrizen der Bediener übereinstimmt . Betrachten Sie zuerst die Basisvektoren:

$$|0\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$

und

$$|0\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} 1\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\ 0\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

und ähnlich

$$|1\rangle\otimes |0\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad |1\rangle\otimes |1\rangle=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Wenn Sie einen Operator haben, z $X_1X_2:=X\otimes X$ welches auf zwei Qubits wirkt und wir ordnen die Basis wie oben, können wir das Kronecker-Produkt der Matrizen nehmen, um die Matrix auf dieser Basis zu finden:

$$X_1X_2=X\otimes X=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\\ 1\cdot\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0&0&1\\ 0 &0&1&0\\0 &1&0&0\\1 &0&0&0\\ \end{pmatrix}$$

Betrachten wir das Beispiel von $CNOT$ oben angegeben als $|0\rangle\langle0|\otimes I+|1\rangle\langle1|\otimes X$.$^*$ Dies kann in Matrixform als berechnet werden $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, was Sie überprüfen können, ist die $CNOT$ Matrix oben.

Es lohnt sich, sich an die Verwendung der Abkürzungen und der Tensorprodukte zu gewöhnen, anstatt alles in eine Matrixdarstellung umzuwandeln, da der Rechenraum entsprechend wächst $2^n$ zum $n$-qubits, was für drei Ellen bedeutet, dass Sie haben $8\times 8$ Matrizen, $4$- Was hast du? $16\times 16$ Matrizen und es wird schnell unpraktisch, in Matrixform zu konvertieren.

Beiseite$^*$: Es gibt einige gebräuchliche Möglichkeiten, die Dirac-Notation zu verwenden, um Vektoren wie $|0\rangle$; Doppelvektoren, z$\langle 0|$, Innenprodukt $\langle 0|1\rangle$ between the vectors $|0\rangle$ and $|1\rangle$; operators on the space like $X=|0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|$.

An operator like $P_0=|0\rangle\langle0|$ is a projection operator is a (orthogonal) projection operator because it satisfies $P^2=P$ and $P^\dagger=P$.

Although the linked wikipedia article is trying to use entanglement as a distinguishing feature from classical physics, I think one can start to get some understanding about entanglement by looking at classical stuff, where our intuition works a little better...

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Zufallsgenerator, der jedes Mal eine Zahl von 0,1,2 oder 3 ausspuckt. Normalerweise machen Sie diese Wahrscheinlichkeit gleich, aber wir können jedem gewünschten Ergebnis eine beliebige Wahrscheinlichkeit zuweisen. Zum Beispiel geben wir 1 und 2 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 und niemals 0 oder 3. Jedes Mal, wenn der Zufallszahlengenerator etwas auswählt, gibt es 1 oder 2 und Sie wissen nicht im Voraus, was los ist sein. Schreiben wir diese Zahlen nun binär, 1 als 01 und 2 als 10. Dann geben wir jedes Bit einer anderen Person, sagen Alice und Bob. Wenn der Zufallszahlengenerator einen Wert auswählt, entweder 01 oder 10, hat Alice einen Teil und Bob den anderen. Alice kann sich also ein bisschen umschauen und egal welchen Wert sie bekommt, sie weiß, dass Bob den entgegengesetzten Wert hat. Wir sagen, dass diese Bits perfekt korreliert sind.

Verschränkung funktioniert ähnlich. Zum Beispiel könnten Sie einen Quantenzustand haben

$$\left|\psi\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left|01\right\rangle-\left|10\right\rangle\right)$$ wo Alice ein Qubit von hält $\left|\psi\right\rangle$und Bob hält den anderen. Unabhängig davon, für welche projektive Messung mit einem Qubit Alice sich entscheidet, erhält sie die Antwort 0 oder 1. Wenn Bob die gleiche Messung mit seinem Qubit vornimmt, erhält er immer die entgegengesetzte Antwort. Dazu gehört das Messen in der Z-Basis, die den klassischen Fall wiedergibt.

Der Unterschied ergibt sich aus der Tatsache, dass dies für jede mögliche Messbasis gilt und dass das Messergebnis unvorhersehbar sein muss und sich daher vom klassischen Fall unterscheidet (vielleicht möchten Sie etwas über Bell-Tests nachlesen) speziell der CHSH-Test ). In dem klassischen Zufallszahlenbeispiel, das ich zu Beginn beschrieben habe, gibt es keinen Grund, warum der Zufallszahlengenerator etwas ausgewählt hat, das nicht kopiert werden kann. Jemand anderes würde wissen können, welche Antwort Alice und Bob bekommen würden. In der Quantenversion existieren die Antworten, die Alice und Bob nicht erhalten, jedoch im Voraus, und daher kann sie niemand anderes kennen. Wenn jemand sie kennen würde, wären die beiden Antworten nicht perfekt korreliert. Dies ist die Basis der Quantenschlüsselverteilung wie es im Grunde beschreibt, in der Lage zu sein, das Vorhandensein eines Lauschers zu erkennen.

Etwas, das beim Versuch, die Verstrickung zu verstehen, weiterhelfen kann: Mathematisch gesehen unterscheidet es sich nicht von der Überlagerung, es ist nur so, dass Sie die überlagerten Teile über eine große Distanz voneinander trennen, und die Tatsache, dass dies in gewisser Weise schwierig ist, bedeutet Wenn Sie die Trennung vornehmen, erhalten Sie eine Ressource, mit der Sie interessante Dinge tun können. In Wirklichkeit ist Verschränkung die Ressource dessen, was man als "verteilte Überlagerung" bezeichnen könnte.

Die Verschränkung ist ein quantenphysikalisches Phänomen, das in praktischen Experimenten demonstriert und in der Quantenmechanik mathematisch modelliert wurde. Wir können uns verschiedene kreative Spekulationen über das ausdenken, was es ist (philosophisch), aber am Ende des Tages müssen wir es einfach akzeptieren und der Mathematik vertrauen.

Aus statistischer Sicht können wir es uns als eine vollständige Korrelation (1 oder -1) zwischen zwei Zufallsvariablen (den Qubits) vorstellen. Wir kennen diese Variablen möglicherweise nicht im Voraus, aber wenn wir eine davon aufgrund der Korrelation messen, ist die andere vorhersehbar. Ich habe kürzlich einen Artikel darüber geschrieben, wie Quantenverschränkung von einem Quantencomputersimulator gehandhabt wird, was Sie vielleicht auch hilfreich finden.