Explizite Lieb-Robinson-Geschwindigkeitsgrenzen

Lieb-Robinson-Schranken beschreiben, wie sich Effekte aufgrund eines lokalen Hamilton-Operators durch ein System ausbreiten. Sie werden häufig in der Form

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$ wobei

A

$A$ und

B

$B$ Operatoren sind, die durch einen Abstand

l

$l$ auf einem Gitter getrennt sind, auf dem der Hamilton-Operator lokale (z. B. nächste Nachbarn) Wechselwirkungen auf diesem Gitter aufweist, die durch eine Stärke

J

$J$ . Die Beweise der Lieb-Robinson-Bindung zeigen typischerweise die Existenz einer Geschwindigkeit

v

$v$ (das hängt von

J

$J$ ). Dies ist oft sehr nützlich, um Eigenschaften in diesen Systemen zu begrenzen. Zum Beispiel gab es einige wirklich gute Ergebnisse hier darüber , wie lange es dauert , einen GHZ - Zustand unter Verwendung eines Nächster-Nachbar - Hamilton - Operator zu erzeugen.

Das Problem , das ich habe , ist , hatte , dass die Beweise ausreichend generisch sind , dass es schwierig ist , auf einen festen Wert zu bekommen , was die Geschwindigkeit tatsächlich ist für jedes gegebene System.

Stellen Sie sich eine eindimensionale Kette von Qubits vor, die durch einen Hamilton-Operator gekoppelt sind

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$ wobei

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$ für alle

n

$n$ . Hier stellen

X_{n}

$X_n$ ,

Y_{n}

$Y_n$ und

Z_{n}

$Z_n$ einen Pauli-Operator dar, der auf ein gegebenes Qubit

n

$n$ angewendet wird, und

I

$\mathbb{I}$ überall sonst. Können Sie eine gute (dh möglichst enge) Obergrenze für die Lieb-Robinson-Geschwindigkeit $v$ für das System in Gl. (1)

Diese Frage kann unter zwei verschiedenen Annahmen gestellt werden:

Die $J_n$ und $B_n$ sind alle in festen Zeit
Die $J_n$ und $B_n$ kann in der Zeit variieren.

Ersteres ist eine stärkere Annahme, die Beweise erleichtern kann, während Letzteres normalerweise in der Aussage der Lieb-Robinson-Schranken enthalten ist.

Motivation

Bei der Quantenberechnung und allgemeiner bei der Quanteninformation geht es darum, interessante Quantenzustände zu erzeugen. Durch Arbeiten wie diese sehen wir, dass Informationen eine gewisse Zeit benötigen, um sich von einem Ort zum anderen in einem Quantensystem zu verbreiten, das sich aufgrund eines Hamilton-Operators wie in Gl. (1), und dass Quantenzustände wie GHZ-Zustände oder Zustände mit einer topologischen Ordnung eine gewisse Zeit brauchen, um erzeugt zu werden. Was das Ergebnis aktuell anzeigt, ist eine Skalierungsbeziehung, z. B. ist die benötigte Zeit $\Omega(N)$ .

Nehmen wir also an, ich überlege mir ein Schema, das die Informationsübertragung durchführt oder einen GHZ-Zustand usw. auf eine Weise erzeugt, die in $N$ linear skaliert . Wie gut ist das eigentlich? Wenn ich eine explizite Geschwindigkeit habe, kann ich sehen, wie genau der Skalierungskoeffizient in meinem Schema mit der Untergrenze übereinstimmt.

Wenn ich denke, dass ich eines Tages ein im Labor implementiertes Protokoll sehen möchte, dann ist es mir sehr wichtig, diese Skalierungskoeffizienten zu optimieren, nicht nur die breite Skalierungsfunktionalität, denn je schneller ich ein Protokoll implementieren kann, desto geringer ist die Chance ist für Lärm zu kommen und alles durcheinander.

Weitere Informationen

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Es gibt einige nette Eigenschaften dieses Hamiltonianers, von denen ich annehme, dass sie die Berechnung erleichtern. Insbesondere hat der Hamilton-Operator eine Subraumstruktur, die auf der Anzahl von 1s in der Standardbasis basiert (es wird gesagt, dass sie die Anregung beibehält), und noch besser zeigt die Jordan-Wigner-Transformation, dass alle Eigenschaften von Subräumen mit höherer Anregung abgeleitet werden können aus dem 1-Anregungs-Unterraum. Dies bedeutet im Wesentlichen, dass wir nur mit einer $N\times N$ Matrix $h$ anstelle der vollständigen $2^N\times 2^N$ Matrix $H$ , wobei

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$ Es gibt Hinweise darauf, dass die Lieb-Robinson-Geschwindigkeit

v = 2 J

$v=2J$ , wiehierundhier, aber diese verwenden alle eine nahezu gleichmäßig gekoppelte Kette, die eine Gruppengeschwindigkeit von

2 J

$2J$ (und ich nehme an, die Gruppengeschwindigkeit ist eng mit der Lieb-Robinson-Geschwindigkeit verbunden). Es beweist nicht, dass alle möglichen Wahlmöglichkeiten der Kopplungsstärke eine so begrenzte Geschwindigkeit haben.

Ich kann etwas mehr zur Motivation beitragen. Betrachten wir die zeitliche Entwicklung einer einzigen Anregung an einem Ende der Kette beginnend $\ket{1}$ , und was seine Amplitude ist am anderen Ende der Kette für ankommende $\ket{N}$ , eine kurze Zeit $\delta t$ später. In erster Ordnung in $\delta t$ , das ist

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$ Sie können die exponentielle Funktionalität sehen, die Sie außerhalb des von einem Lieb-Robinson-System definierten 'Lichtkegels' erwarten würden, aber was noch wichtiger ist: Wenn Sie diese Amplitude maximieren möchten, würden Sie alle

J_{n} = J

$J_n=J$ . So führt das gleichmäßig gekoppelte System in kurzen Zeiten zum schnellsten Transfer. Der Versuchdiese weiter zu drücken, können Sie, wie ein bisschen ein Fudge fragen, wann kann

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$ Wenn Sie die große

N

$N$ Grenze und die Stirling-Formel für die Fakultät verwenden, erhalten Sie

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$ was eine maximale Geschwindigkeit von ungefähr

e J

$eJ$ nahe legt. Nah, aber kaum streng (da die Terme höherer Ordnung nicht zu vernachlässigen sind)!

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
quelle

Haben Sie aus den Proofs für dieses Modell den besten LR-Wert berechnet? Wie verhält es sich mit der Geschwindigkeit, die Sie zitieren?

— Norbert Schuch

Ok, ich gebe zu, es ist eine Frage des Quantencomputers, zumindest so, wie ich sie jetzt interpretiere: "Was ist die Wahl von

und

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$ (vorbehaltlich einiger Einschränkungen), die die maximale Geschwindigkeit für Information / Zustand / ... Transfer." --- Ist das die richtige Interpretation?

— Norbert Schuch

@ NorbertSchuch Nicht ganz. Ich möchte sagen können: "Ich habe eine Reihe von Kopplungen entwickelt, die ein Protokoll mit einer bestimmten Skalierung erzielen. Dieses Protokoll ist bekanntermaßen durch Lieb-Robinson-Grenzen eingeschränkt. Wie nahe bin ich an der Sättigung dieser Einschränkung?" als Maß dafür, wie schnell mein Protokoll ist.

— DaftWullie

@DaftWullie Also - hast du die Frage: "Wie nah bin ich am Optimum" oder "Wie nah bin ich an einer Grenze (unter der engsten)?"

— Norbert Schuch

@ user1271772 Das ist richtig.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Lassen Sie mich zunächst die allgemeine Frage beantworten, wie Sie eine einigermaßen enge Lieb-Robinson-Geschwindigkeit (LR) erreichen, wenn Sie mit einem generischen, lokal interagierenden Gittermodell konfrontiert sind, und dann auf das 1D-XY-Modell in Ihrer Frage zurückkommen, das sehr wichtig ist speziell, um genau lösbar zu sein.

Allgemeine Methode

Die Methode zur Ermittlung der bislang engsten Bindung (für ein generisches Modell mit Wechselwirkung über kurze Entfernungen) wird in Ref1 = arXiv: 1908.03997 vorgestellt . Die Grundidee besteht darin, dass die Norm des ungleichen Zeitkommutators $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ zwischen beliebigen lokalen Operatoren durch die Lösung eines Satzes linearer Differentialgleichungen erster Ordnung, die auf der Grundlage der Gleichung leben, nach oben begrenzt werden kann Kommutativitätsgraph des Modells. Der Kommutativitätsgraph, wie er in Abschnitt II A von Lit. 1 eingeführt wurde, kann leicht aus dem Modell Hamiltonian gezogen werden $\hat{H}$ Und ist entworfen , um die Kommutierung Beziehungen zwischen den verschiedenen lokalen Betreibern präsentiert in widerzuspiegeln . In translatorisch invarianten Systemen kann dieser Satz von Differentialgleichungen leicht durch eine Fouriertransformation gelöst werden, und eine Obergrenze der LR-Geschwindigkeit kann aus der größten Eigenfrequenz Verwendung von Gleichung (31) von Ref1 berechnet werden . Im Folgenden wende ich diese Methode als pädagogisches Beispiel auf das 1D XY-Modell an. Der Einfachheit halber werde ich den Schwerpunkt auf die zeitunabhängige und translationsinvariantes Fall $\hat{H}$ $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ , $|J_n|=J>0$ (die resultierende Grenze hängt nicht von den Vorzeichen von $B_n,J_n$ ). Für die Übersetzung nicht unveränderlich, zeitabhängigen Fall können Sie entweder die Differentialgleichung lösen numerisch (die für Systeme von Tausenden von Websites eine einfache Rechenaufgabe ist), oder Sie können eine gesamte obere verwenden gebunden $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$ und fahren Sie mit der folgenden Methode fort (dies beeinträchtigt jedoch geringfügig die Dichtigkeit im Vergleich zur numerischen Methode).

Zuerst zeichnen wir das Kommutativitätsdiagramm wie folgt. Jeder Operator im Hamilton-Operator ~ ( $X_{n}X_{n+1}$ , $Y_nY_{n+1}$ , $Z_n$ ) durch einen Scheitelpunkt dargestellt, und wir verknüpfen zwei Eckenwenn und nur wenn die entsprechenden Operatoren nicht kommutieren (oder, in der aktuelle Fall, pendelfrei).
Schreiben Sie dann die Differentialgleichungen (10) von Ref1 auf :
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Fouriertransformation der obigen Gleichung, wir haben
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ where $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Note: This bound diverges when $B/J\to \infty$ , while the physical information propagation speed stays finite. We can get rid of this problem by using the method in Sec. VI of Ref1. The result is $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ in this limit, where $\mathcal{X}_y$ is defined as the solution to the equation $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$ .

Velocity bounds for some classic models

The above method is completely general. In case you are interested in more, I listed the velocity bounds for some classic models in the following table, obtained in a similar way. Notice that the LR velocity $v_{\text{LR}}$ is upper bounded by the smallest of the all the expressions listed (so in different parameter regions different expressions should be used). The function $F(J_x,J_y,J_z)$ is defined as the largest root of $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$ All parameters are assumed positive (just take absolute value for the negative cases).

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

As for how good these bounds are, I haven't investigated in general, but for the 1D TFIM at critical point $J=h$ , exact solution gives $v_{\text{LR}}=2J$ , while the above bound gives $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ . Similarly, at the $U=0$ point of FH and the $J_x=J_y,J_z=0$ point of Heisenberg XYZ, the above bound are all larger than exact solution by a factor of $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$ . [Actually at these special points the latter two are equivalent to decoupled chains of TFIM, as can be directly judged from their commutativity graph.]

Tighter bound for 1D XY by mapping to free fermions

Now let's talk more about the 1D XY model. As you noticed, it's exactly solvable by mapping to free fermions:

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$ For general

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$ you need to solve the free-fermion problem numerically, but let me mention two special cases that are analytically tractable.

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ are fixed and translation invariant. Then the exact solution is
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ where $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ is the Bessel function of order $|n-m|$ . So the LR speed is $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$ .
$B_n,J_n$ are fixed in time but are completely random (quenched disorder). Then due to many-body localization (or Anderson localization in the fermion picture), information don't propagate in this system, so $v_{\text{LR}}=0$ . More rigorously, in arXiv:quant-ph/0703209, the following bound is proved for disordered case:
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ with a decelerating, logarithmic light cone $d_{XY}=\xi \ln t$ .

— Lagrenge
quelle

Should I infer from what you say that for every

X Y

$XY$ model (including those without translation invariance) with

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$ , that the velocity is

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$ ?

— DaftWullie

@DaftWullie No, you can only use an overall upper bound for the parameters in the general method, since the general method always gives a bound that is strictly non-decreasing in the absolute value of any coefficient. The bound

2 J

$2J$ is obtained from the free-fermion exact solution, in which you cannot use an overall upper bound for parameters, and have to solve case by case. If the

B_{n} (t)

$B_n(t)$ is translation invariant, then you can set

B = 0

$B=0$ in the general method since the

B

$B$ term commute with

\hat{H}

$\hat{H}$ , and get

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$ .

— Lagrenge

@DaftWullie Dear DaftWullie, if you think anything is still missing in my answer, or any point is still unclear, please let me know.

— Lagrenge

the answer looks potentially useful. I haven't had time to look at your paper yet (it may be a couple of weeks). Assuming I understand everything OK, that's the point I'll accept your answer.

— DaftWullie