Ermöglicht die Quantensteuerung die Implementierung eines Gates?

Mit Hilfe von Quantensteuerungstechniken ist es möglich, Quantensysteme in einer Vielzahl unterschiedlicher Szenarien zu steuern (z. B. 0910.2350 und 1406.5260 ).

Insbesondere wurde gezeigt, dass es mit diesen Techniken möglich ist, Gates wie das (Quanten-) Toffoli-Gate ( 1501.04676 ) mit guter Genauigkeit zu implementieren. Genauer gesagt zeigen sie, dass das Toffoli-Gatter $\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}\mathcal{U}_{\on{Toff}}$ als C-CNOT-Gatter

$$\newcommand{\ketbra}[2]{\lvert#1\rangle\langle#2\rvert} \newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\langle#1\rvert} \mathcal{U}_{\on{Toff}}\equiv \ket{0}_1\!\bra{0}\otimes \on{CNOT} + \ket{1}_1\!\bra{1}\otimes I,$$ und einem zeitabhängigen Hamilton-Operator $H(t)$ , der einen bestimmten Satz von Wechselwirkungen enthält, kann man einen Satz von (zeitabhängigen) Parametern von $H(t)$ so dass $$\mathcal T \exp\left(-i \int_0^\Theta H(\tau)d\tau\right) \simeq \mathcal U_{\on{Toff}}.$$

Gibt es bekannte Ergebnisse zur Universalität eines solchen Ansatzes? Mit anderen Worten, erlauben die von der Quantensteuerungstheorie bereitgestellten Werkzeuge zu sagen, wann bei einem gegebenen Satz von Einschränkungen für die erlaubten Hamilton-Parameter ein gegebenes Zielgatter realisiert werden kann? (1)

Genauer gesagt ist das Problem das folgende: Fixiere ein Zielgatter $\mathcal U$ , das über eine Menge von Qubits (oder allgemeiner Qubits) wirkt, und einen parametrisierten Hamilton-Operator der Form $H(t)=\sum_k c_k(t) \sigma_k$ , Dabei ist $\{\sigma_k\}_k$ eine feste Menge von ( hermitianischen ) Operatoren, und c_k (t)$c_k(t)$ sind zeitabhängige Parameter, die bestimmt werden müssen. Gibt es eine Möglichkeit festzustellen, ob es Koeffizienten $\{c_k(t)\}_k$ so dass

$$\mathcal T\exp\left(-i\int_0^{\Theta} H(\tau)d\tau\right) \stackrel{?}{=} \mathcal U.$$

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(1) Beachten Sie, dass ich hier nur von Quantenkontrolle spreche , weil dies der in der Arbeit verwendete Begriff ist. Wenn dies nicht der am besten geeignete Begriff ist, um auf diese Art von Problemen hinzuweisen, lassen Sie es mich bitte wissen.

Beachten Sie außerdem, dass sich das in diesem Artikel gelöste Problem geringfügig von dem hier angegebenen unterscheidet. Insbesondere hat sie die Hamilton betrachten wirkt tatsächlich innerhalb von drei vier -dimensional qudits und die Toffoli ist nur als effektive Dynamik in den unteren Ebenen jeden ququart umgesetzt. Ich bin auch mit Ergebnissen dieser Art in Ordnung.

Es gibt das Konzept der Steuerbarkeit eines Quantensystems, dh können Sie mit den angegebenen Steuerelementen einen beliebigen Zustand oder eine Einheit erstellen? Normalerweise wird dies anhand der Lie-Algebra des Systems berechnet und kann ziemlich chaotisch sein. Sie müssen die einzelnen Hamilton-Terme, die Sie steuern können, verwenden und alle ihre Kommutatoren nach willkürlichen Anweisungen berechnen. Wenn Sie lineare Kombinationen davon nehmen und einen beliebigen Hamilton-Operator erstellen können, ist Ihr gesamter Hilbert-Raum steuerbar. Sie können jede Einheit machen, die Sie wollen, und jeder Quantenzustand soll von jedem anderen aus erreichbar sein. Ein Beispiel finden Sie unter Vollständige Steuerbarkeit von Quantensystemen (PRA 2001) .

Ein wichtiger Punkt, der hervorgehoben werden muss, ist jedoch, dass dies nichts über die Effizienz aussagt, dh wie lange Sie brauchen, um einen bestimmten Zustand zu erreichen (in Abhängigkeit von der Systemgröße). Es gibt eine explizite Konstruktion, die Sie basierend auf der obigen Zerlegung in Bezug auf Kommutatoren vornehmen können, aber die erforderliche Zeit skaliert exponentiell in der Reihenfolge des erforderlichen Kommutators. Numerische Techniken der Steuerungstheorie sind Methoden, die versuchen, die erforderlichen Kontrollfelder (als Funktion der Zeit) effizienter zu finden, aber (meines Wissens) geben Ihnen selten Garantien. Wenn Sie also und , ist das Steuerbarkeitskonzept möglicherweise nicht ausreichend.$\Theta$$c_k(t)$

Die Quantensteuerung erlaubt nicht unbedingt die Implementierung eines beliebigen Gates. Stellen Sie sich vor, Ihre Steuerung des Systems ist eine zeitabhängige Energie. Das entspricht dem Hamiltonschen . Dann können Sie immer nur um eine Achse der Bloch-Kugel drehen, und Sie haben nur die Wahl, wie schnell Sie wann drehen möchten. Dies reicht offensichtlich nicht aus, um überhaupt beliebige Single-Qubit-Gates zu erzeugen, da Sie dann in der Lage sein müssten, Rotationen um eine beliebige (beliebige) Achse durchzuführen.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{Z}$

Ich kann den zweiten Teil Ihrer Frage über bekannte Ergebnisse für die Universalität nicht beantworten. Beachten Sie jedoch, dass ich einen ganz besonderen Fall ausgewählt habe, um zu veranschaulichen, dass eine einfache Quantenkontrolle nicht ausreicht. Stellen Sie sich vor, ich hätte den Hamiltonianer . Dies ist eine konstante Drehung um eine Achse (aufgrund einer Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen des einzelnen Qubits) plus eine Drehung, die Sie vollständig um eine orthogonale Achse steuern. Da Sie mit einer geeigneten Kombination solcher Rotationen eine beliebige Rotation erzeugen können, ist dies universell (für ein einzelnes Qubit-System). Dies ist mein Versuch zu veranschaulichen, dass eine nicht universelle Kontrolle, wenn Sie eine Kontrolle haben, eher als Sonderfall als als Regel angesehen werden kann.$\hat{H}(t) = c(t) \hat{X} + \frac{E_0}{2} \hat{Z}$$E_0$