Wie wird in einer Quantenturniermaschine die Entscheidung getroffen, sich entlang des Speicherbands zu bewegen?

Für eine Quantum Turing-Maschine (QTM) sei der eingestellte Zustand und das Symbolalphabet ∑ = { 0 , 1 } , das am Bandkopf erscheint. Dann wird nach meinem Verständnis zu jedem gegebenen Zeitpunkt, während der QTM berechnet, das Qubit, das an seinem Kopf erscheint, einen beliebigen Vektor V ∑ = a | halten 1 ⟩ + b | 0 ⟩ . Auch wenn | q 0 ⟩ , | q 1 ⟩ , . . . ∈ $Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$ist dann der Zustandsvektor zu diesem Zeitpunkt auch ein beliebiger Vektor .$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

Jetzt, nach der Befehlszyklus abgeschlossen ist, werden die Vektoren und V q entscheidet , ob der QTM wird links oder rechts entlang der Qubit - Band. Meine Frage ist - da Hilbert - Raum , der durch Q & xotime ; & Sgr; ist eine unzählbare unendliche Menge und { Links, Rechts } ist eine diskrete Menge, die Zuordnung zwischen ihnen schwierig sein wird , zu erstellen.$V_\sum$$V_q$$Q \otimes \sum$$\{\text{Left,Right}\}$

Wie wird also die Entscheidung getroffen, sich nach links oder rechts zu bewegen? Bewegt sich das QTM gleichzeitig nach links und rechts, was bedeutet, dass die Menge auch einen anderen Hilbert-Raum bildet und die Bewegung des QTM daher so etwas wie ein | wird Left ⟩ + b | Rechts ⟩ .$\{\text{Left,Right}\}$$a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$

Oder wie bei einer klassischen Turingmaschine bewegt sich der QTM entweder nach links oder nach rechts, aber nicht nach beiden gleichzeitig?

Wenn wir eine QTM mit gesetztem Zustand und einem Bandalphabet Σ = { 0 , 1 } haben , können wir nicht sagen, dass das Qubit, das vom Bandkopf abgetastet wird, einen Vektor a | "hält" 0 ⟩ + b | 1 ⟩ oder dass die (interne) Zustand ein Vektor mit Basiszuständen entsprechend ist Q . Die Qubits auf dem Band können miteinander und mit dem internen Zustand sowie mit der Bandkopfposition korreliert werden.$Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

Als Analogie würden wir den globalen Zustand einer probabilistischen Turing-Maschine nicht beschreiben, indem wir unabhängig eine Verteilung für den internen Zustand und für jedes der Bandquadrate spezifizieren. Vielmehr müssen wir alles zusammen beschreiben, um die Korrelationen zwischen den verschiedenen Teilen der Maschine richtig darzustellen. Zum Beispiel könnten die in zwei entfernten Bandquadraten gespeicherten Bits perfekt korreliert sein, sowohl 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 als auch 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.

Wenn wir also im Quantenfall von reinen Zuständen von Quantenturingmaschinen mit einheitlichen Entwicklungen sprechen (im Gegensatz zu einem allgemeineren Modell, das auf gemischten Zuständen basiert), wird der globale Zustand durch einen Vektor dargestellt, dessen Einträge durch indiziert sind Konfigurationen (dh klassische Beschreibungen des internen Zustands, der Position des Bandkopfs und des Inhalts jedes Bandquadrats) der Turing-Maschine. Es sollte beachtet werden, dass wir im Allgemeinen davon ausgehen, dass das Bandalphabet ein spezielles leeres Symbol enthält (das 0 sein kann, wenn unsere Bandquadrate Qubits speichern sollen) und dass wir Berechnungen starten, bei denen höchstens endlich viele Quadrate nicht leer sind. Damit ist die Menge aller erreichbaren Konfigurationen abzählbar. Dies bedeutet, dass der Zustand durch einen Einheitsvektor in einem trennbaren Hilbert-Raum dargestellt wird.

$(q,\sigma)$

Sie können sich beispielsweise ein QTM mit vorstellen.$Q = \{0,1\}$$\Sigma = \{0,1\}$(und wir nehmen 0 als leeres Symbol). Wir beginnen im Zustand 0, indem wir ein Quadrat scannen, das 1 speichert, und alle anderen Quadrate speichern 0. Ich werde die Übergangsfunktion nicht explizit aufschreiben, sondern nur das Verhalten in Worten beschreiben. Bei jeder Bewegung wird der Inhalt des abgetasteten Bandquadrats als Steuerbit für eine Hadamard-Operation im internen Zustand interpretiert. Nachdem der Controlled-Hadamard ausgeführt wurde, bewegt sich der Kopf nach links, wenn der (neue) Zustand 0 ist, und nach rechts, wenn der (neue) Zustand 1 ist. (In diesem Beispiel wird der Inhalt des Bandes nie wirklich geändert.) Nach einem Schritt Befindet sich der QTM in einer gleichgewichteten Überlagerung zwischen dem Zustand 0 mit dem Bandkopfabtastquadrat -1 und dem Zustand 1 mit dem Bandkopfabtastquadrat +1. Bei allen folgenden Zügen tut der kontrollierte Hadamard nichts, da jedes Feld außer Feld 0 das 0-Symbol enthält. Der Bandkopf bewegt sich daher weiterhin gleichzeitig nach links und rechts wie ein Teilchen, das sich in Überlagerung nach links und rechts bewegt.

Wenn Sie möchten, könnten Sie natürlich eine Variante des Quanten-Turing-Maschinenmodells definieren, für die die Position und Bewegung des Bandkopfs deterministisch ist, und dies würde nicht die rechnerische Universalität des Modells ruinieren, sondern die "klassische" Definition von Quanten-Turing machines legt diese Einschränkung nicht fest.

Die Quantenturingmaschine kann sich in eine Überlagerung von links und rechts bewegen. Dies unterscheidet sich von der klassischen Turing-Maschine, die sich nur nach links oder rechts bewegen kann.