Was ist der Unterschied zwischen Überlagerungen und Mischzuständen?

Mein bisheriges Verständnis ist: Ein reiner Zustand ist ein Grundzustand eines Systems, und ein gemischter Zustand repräsentiert die Unsicherheit über das System, dh das System befindet sich in einem Satz von Zuständen mit einer gewissen (klassischen) Wahrscheinlichkeit. Überlagerungen scheinen jedoch auch eine Art Mischung von Zuständen zu sein. Wie passen sie also in dieses Bild?

Betrachten Sie zum Beispiel einen fairen Münzwurf. Sie können es als Mischzustand „Köpfe“ darstellen $\left|0\right>$ und „Schwanz“ $\left|1\right>$ :

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Wir können aber auch die Überlagerung von "Kopf" und "Zahl" verwenden: spezifischer Zustand $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$ mit Dichte

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Wenn wir rechnerisch messen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Was ist der Unterschied zwischen einem überlagerten und einem gemischten Zustand?

Nein , eine Überlagerung zweier verschiedener Zustände ist ein völlig anderes Tier als eine Mischung derselben Zustände. Während aus Ihrem Beispiel hervorgeht, dass und ρ 2 die gleichen Messergebnisse liefern (und das ist in der Tat der Fall),$\rho_1$$\rho_2$ aber sobald Sie auf einer anderen Basis messen, führen sie zu messbar unterschiedlichen Ergebnissen .

Eine "Überlagerung" wie ist einreiner Zustand. Dies bedeutet, dass es sich um einen vollständig charakterisierten Zustand handelt. Mit anderen Worten, es gibt keine Menge an Informationen, die zu ihrer Beschreibung hinzugefügt werden und sie "weniger unbestimmt" machen könnten. Man beachte, dassjeder reine Zustandals Überlagerung anderer reiner Zustände geschrieben werden kann. Schreiben eines bestimmten Zustands$\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$ als eine Überlagerung von anderen Staaten ist buchstäblich dasselbe wie ein VektorSchreiben v in Bezug auf einige Grundlage: Sie können immer die Basis ändern und eine andere Darstellung finden v .$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Dies steht im direkten Gegensatz zu einem gemischten Zustand wie in Ihrer Frage. Im Fall von ρ 1 hängt die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse von unserer Unkenntnis des Staates selbst ab . Dies bedeutet, dass es im Prinzip möglich ist, einige zusätzliche Informationen zu erhalten, aus denen hervorgeht, ob sich ρ 2 tatsächlich in dem Zustand $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$ oder im Zustand$\up$ .$\down$

Ein gemischter Zustand kann im Allgemeinen nicht als reiner Zustand geschrieben werden. Dies sollte aus der obigen physikalischen Intuition klar sein: Mischzustände repräsentieren unsere Unwissenheit über einen physikalischen Zustand, während reine Zustände vollständig definierte Zustände sind, die aufgrund der Funktionsweise der Quantenmechanik immer noch probabilistische Ergebnisse liefern.

In der Tat gibt es ein einfaches Kriterium, um festzustellen, ob ein gegebener (allgemein gemischter) Zustand als | geschrieben werden kann & psgr; ⟩ ⟨ & psgr; | für einige (rein) Zustand | & psgr; $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$ : Berechnen ihrer Reinheit . Die Reinheit eines Zustands ist definiert als $\rho$ , und es ist ein Standardergebnis, dass die Reinheit des Zustandsgenau dann 1 ist, wennder Zustand rein ist (undansonstenweniger als 1 ).$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

Die kurze Antwort lautet: Quanteninformation ist mehr als "Unsicherheit". Dies liegt daran, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, einen Zustand zu messen. und das liegt daran, dass es mehr als eine Basis gibt, auf der Sie im Prinzip Informationen speichern und abrufen können. Überlagerungen ermöglichen es Ihnen, Informationen auf einer anderen Basis als der Berechnungsbasis auszudrücken - aber mit Mischungen beschreiben jedoch das Vorhandensein eines probabilistischen Elements, unabhängig davon, auf welcher Basis Sie den Zustand betrachten.

Die längere Antwort lautet wie folgt:

Messung, wie Sie sie beschrieben haben, ist spezifisch Messung in der Berechnungsbasis. Dies wird oft nur der Kürze halber als "Messung" bezeichnet, und große Teile der Community denken, dass dies die primäre Methode ist, um Dinge zu messen. In vielen physikalischen Systemen ist es jedoch möglich , eine Messbasis zu wählen .

Ein Vektorraum über hat mehr als eine Basis (sogar mehr als eine orthonormale Basis), und auf mathematischer Ebene gibt es nicht viel, was eine Basis spezieller macht als eine andere, abgesehen von dem, worüber der Mathematiker nachdenken kann. Gleiches gilt für die Quantenmechanik: Wenn Sie nicht eine bestimmte Dynamik angeben, gibt es keine speziellere Basis als die anderen. Das heißt, die rechnerische Basis | 0 ⟩ = [ 1 0$\mathbb C$ unterscheidet sich nicht grundsätzlich physisch von einer anderen Basis, wie | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ die auch eine orthonormale Basis ist. Das bedeutetdass es sollte eine Art und Weise zu „messen“ Zustand sein| & psgr;⟩egrC2in einer solchen Art und Weisedass die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse auf Projektionen auf diesen Zuständen abhängen| +⟩Und| -⟩. $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ $\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$ oder$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

Für Dichteoperatoren nimmt man den Zustand $\rho$ an denen Sie eine Messung durchführen möchten und berücksichtigen $\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$ und $\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$. Diese Operatoren können auf die gleiche Weise wie die Zustände subnormalisiert werden$\lvert \varphi_\pm \rangle$ könnte in dem Sinne sein, dass sie eine Spur kleiner als 1 haben. Der Wert der Spur von $\rho_\pm$ is the probability of obtaining the outcome $\lvert + \rangle$ or $\lvert - \rangle$ of the measurement; to renormalise, simply scale the projected operator to have trace 1.

Consider your state $\rho_2$ above. If you measure it with respect to the $\lvert \pm \rangle$ basis, what you will find is that $\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$. This means that projecting the operator with $\Pi_+$ does change the state, and that the probability of obtaining the outcome $\lvert + \rangle$ to the measurement is 1. If you do this instead with $\rho_1$, you will find a 50/50 chance of obtaining either $\lvert + \rangle$ or $\lvert - \rangle$. So the state $\rho_1$ is a mixed state, while $\rho_2$ is not --- the difference being that $\rho_2$ has a definite outcome in a different measurement basis than the standard basis. You might say that $\rho_2$ stores a definite piece of information, albeit in a different basis than the computational basis.

More generally, a mixed state is one whose largest eigenvalue is less than 1, meaning that there is no basis in which you can measure it to get a definite outcome. Superpositions allow you to express information in a different basis than the computational basis; mixtures represent a degree of randomness about the state of the system you're considering, regardless of how you measure that system.

Along with glS' post:

A mixed state would be if you had a can of paint, but you weren't sure if it was blue or yellow. You know it is either one of the two, and once you pop the top and measure it, you'd know, but until you do it is in one of those two pure states. If you picked it up from a stack of cans where you knew there were equally many cans of blue paint as yellow, you would expect an equal chance of it being one or the other. 50% of the time it would be 100% yellow and 50% of the time it would be 100% blue.

A superposition is more like if you take half a can of blue and half a can of yellow and pour them together. You've now constructed a new pure state that is expressible as a combination of other pure states. If you test its 'blueness', it is about 50%. If you test its 'yellowness' it is about 50%. It is both yellow and blue at the same time. 100% of the time it is both 50% blue and 50% yellow.

If you measured the amount of blue and yellow in one stack of blue or yellow cans and then in another stack of green, you might be confused to see you have just as much blue and yellow in both stacks, but the difference is that the 'blueness' and 'yellowness' is in a mixed state in the later stack but is in a superposition in the latter.