Was versteht man unter dem Begriff „Rechenbasis“?

Was versteht man unter dem Begriff "Rechenbasis" im Zusammenhang mit Quantencomputern und Quantenalgorithmen?

Wenn wir nur ein Qubit haben, ist die Rechenbasis nichts Besonderes. Es ist einfach schön, eine kanonische Basis zu haben. In der Praxis könnte man denken, dass man zuerst ein Gate mit und implementiert und dann sagt, dass die Rechenbasis die Eigenbasis dieses Gates ist.Z 2 = I Z ≠ $Z$$Z^2 = I$$Z\neq I$

Wenn wir jedoch über Multi-Qubit - Systeme sprechen, die Berechnungsgrundlage ist sinnvoll. Es kommt davon, eine Basis für jedes Qubit auszuwählen und dann die Basis zu nehmen, die das Tensorprodukt all dieser Basen ist. Es ist schön, für jedes Qubit die gleiche Basis zu wählen, um alles einheitlich zu halten, und sie als und ist eine gute Wahl für die Notation. Was wirklich wichtig ist, ist, dass unsere Basiszustände Produktzustände über unsere Qubits hinweg sind: Die rechnerischen Basiszustände können vorbereitet werden, indem unsere Qubits separat initialisiert und dann zusammengeführt werden. Dies gilt nicht für beliebige Zustände! Zum Beispiel erfordert der Cat-Status eine Protokolltiefenschaltung, um ihn aus einem Produktstatus vorzubereiten.1 $0$$1$$\frac1{\sqrt2}\left(|0^n\rangle + |1^n\rangle\right)$

Quantum Computing befasst sich (meistens) mit endlichdimensionalen Quantensystemen, die Qubits genannt werden . Wenn Sie die grundlegende Quantenmechanik kennen, wissen Sie, dass der Hilbert-Raum eines Qubits , dh der zweidimensionale komplexe Hilbert-Raum über (für die technischeren Leute der Hilbert-Raum ist eigentlich ).C C P $\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$

Um die Vektoren (oder physikalisch den Quantenzustand des Qubits) in diesem zweidimensionalen Hilbert-Raum zu beschreiben, benötigen wir daher mindestens zwei Basiselemente. Wenn Sie sich den Zustand des Qubits als Spaltenvektor vorstellen,

a,ba,b-| & psgr;

$${{\bigl [}{\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}}{\bigr ]}},$$ dann müssten Sie angeben, was sind, um den Zustand des Qubits anzugeben. Beachten Sie, dass von der Basis des Systems abhängen es kann zwei unterschiedlich aussehende Spaltenvektoren (in unterschiedlichen Basen) geben, die denselben Zustand des Qubits darstellen. In jedem Fall brauchen wir eine Basis, mit der wir arbeiten können, und hier kommt die "rechnerische Basis" ins Spiel.$a,b$$a,b$$-$$|\psi\rangle$

Die Berechnungsbasis sind einfach die zwei Basiszustände, die sich aus (einem) der beiden unterschiedlichen Quantenzustände zusammensetzen, in denen sich das Qubit physikalisch befinden kann. Genau wie in der linearen Algebra sind die beiden ( linear unabhängigen ) Zustände, die Sie wählen, jedoch willkürlich (ich sage irgendwie, weil es in einigen physikalischen Situationen eine natürliche Wahl der Basis gibt; siehe Einauswahl ).

Wenn Sie beispielsweise ein Elektron in einem Magnetfeld haben (z. B. in die z-Achse zeigen), sind die Zustände des Spins, die in der z-Achse nach oben und unten zeigen, eine typische Wahl für die Berechnungsgrundlage dies ist eindeutig nicht der Fall die einzige Wahl, da die z-Achse in eine beliebige Richtung zeigen kann. Diese beiden Zustände, der und des Spin des Elektrons, sind die Eigenzustände des Operators (Pauli-z) und werden üblicherweise als "Berechnungsgrundlage" bezeichnet.| ↑ ⟩ | ↓ ⟩ σ $-$$|\uparrow\rangle$$|\downarrow\rangle$$\sigma_z$

$|0\rangle$$|1\rangle$

Um einige Beispiele zu nennen:

1. Wenn die Qubits in die Polarisation einzelner Photonen codiert werden, ist die Berechnungsbasis typischerweise die Basis, die durch die horizontalen und vertikalen Polarisationszustände des Photons gebildet wird.
2. $S_z$
3. Wenn ein Qubit in einem bestimmten Modus in die Anwesenheit oder Abwesenheit eines Photons codiert wird, dann ist die "Berechnungsgrundlage" der Berufszustand dieses Modus.

Ich könnte weitermachen Man spricht auch oft von "rechnerischer Basis" für höherdimensionale Zustände (Qudits). In diesem Fall gilt das Gleiche: Eine Basis wird "rechnerisch" genannt, wenn sie in einem bestimmten Kontext die "natürlichste" ist.

$\{|0\rangle, |1\rangle,...\}$

Ein Quantenzustand ist ein Vektor in einem hochdimensionalen Vektorraum (dem Hilbert-Raum). Es gibt eine Basis, die für jeden Quantenalgorithmus (oder Quantencomputer), der auf Qubits basiert, selbstverständlich ist: Die Zustände, die den Binärzahlen entsprechen, sind speziell, sie sind die sogenannten rechnerischen Basiszustände.