Was macht Quantencomputer so gut darin, Primfaktoren zu berechnen?

Eine der verbreiteten Behauptungen über Quantencomputer ist ihre Fähigkeit, konventionelle Kryptographie zu "brechen". Dies liegt daran, dass die konventionelle Kryptographie auf Primfaktoren basiert, was für konventionelle Computer rechenintensiv ist, für einen Quantencomputer jedoch ein vermeintlich triviales Problem darstellt.

Welche Eigenschaft von Quantencomputern macht sie für diese Aufgabe so geeignet, wenn herkömmliche Computer ausfallen, und wie werden Qubits auf das Problem der Berechnung von Primfaktoren angewendet?

Die kurze Antwort

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$ Quantum-Computer können Unterprogramme eines Algorithmus ausführen zum Factoring, exponentiell schneller als jedes bekannte klassische Gegenstück. Das bedeutet nicht, dass klassische Computer es nicht auch schnell können. Wir wissen nur bis heute nicht, wie klassische Algorithmen so effizient wie Quantenalgorithmen arbeiten können

Die lange Antwort

Quantencomputer sind gut in diskreten Fouriertransformationen. Hier geht es um eine Menge Dinge, die nicht nur durch " es ist parallel " oder " es ist schnell " erfasst werden , also lasst uns ins Blut des Tieres gehen.

Das Faktorisierungsproblem ist das folgende: Wenn eine Zahl wobei Primzahlen sind, wie gewinnt man und ? Ein Ansatz besteht darin, Folgendes zu beachten:p , q p $N = pq$$p,q$$p$$q$

Wenn ich mir eine Zahl , dann teilt entweder einen gemeinsamen Faktor mit oder nicht.x $\modN{x}$$x$$N$

Wenn einen gemeinsamen Faktor hat und nicht ein Vielfaches von ist, können wir leicht nach den gemeinsamen Faktoren von und fragen (durch den euklidischen Algorithmus für die größten gemeinsamen Faktoren).N x $x$$N$$x$$N$

Jetzt eine nicht so offensichtliche Tatsache: die Menge aller , die keinen gemeinsamen Faktor mit teilen bildet eine multiplikative Gruppe . Was bedeutet das? Sie können die Definition einer Gruppe in Wikipedia hier einsehen . Lassen Sie die Gruppenoperation eine Multiplikation sein, um die Details auszufüllen, aber alles, was uns hier wirklich wichtig ist, ist die folgende Konsequenz dieser Theorie: die SequenzN mod $x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

ist periodisch, wenn keine gemeinsamen Faktoren haben (versuchen Sie , ), um es aus erster Hand zu sehen als:x = 2 N = $x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

Wie viele natürliche Zahlen weniger als teilen keine gemeinsamen Faktoren mit ? Das wird von Eulers Totientenfunktion beantwortet , es ist .N N ( p - 1 ) ( q - 1 $x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$

Abschließend wird auf das Thema Gruppentheorie, die Länge der sich wiederholenden Ketten, eingegangen

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

dividiert diese Zahl . Wenn Sie also die Periode der Potenzfolgen von , können Sie eine Vermutung für anstellen. Wenn Sie außerdem wissen, was ist und was ist (das ist N, bitte nicht vergessen!), Dann haben Sie 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die durch elementare Algebra gelöst werden können, um sie zu trennen .x $(p-1)(q-1)$( p - 1 ) ( q - 1 ) ( p - 1 ) ( q - 1 ) p q p , $x \mod N$$(p-1)(q-1)$$(p-1)(q-1)$$pq$$p,q$

Woher kommen Quantencomputer? Die Periodenfeststellung. Es gibt eine Operation namens Fourier-Transformation, die eine Funktion als Summe der periodischen Funktionen schreibt. Dabei sind Zahlen, sind periodische Funktionen mit der Periode und ordnet sie einer neuen Funktion so, dass .a 1 e 1 + a 2 e 2 . . . a i e i p i f f ( P i ) = ein $g$$a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$$a_i$$e_i$$p_i$$\hat{f}$$\hat{f}(p_i) = a_i$

Berechnen der Fourier - Transformation wird in der Regel als integraler eingeführt, aber wenn Sie wollen einfach nur anwenden, um eine Reihe von Daten (das I - ^te Element des Arrays ist ) , die Sie mit diesem Tool kann ein angerufenes diskreten Fourier - Transformation davon : zum Multiplizieren Ihres "Arrays", als wäre es ein Vektor, mit einer sehr großen einheitlichen Matrix.$f(I)$

Betonung des Wortes unitär: Es ist eine wirklich willkürliche Eigenschaft, die hier beschrieben wird . Aber der Schlüssel zum Mitnehmen ist der folgende:

In der Welt der Physik befolgen alle Operatoren dasselbe allgemeine mathematische Prinzip: Einheitlichkeit .

Das heißt, es ist nicht unvernünftig, diese DFT-Matrixoperation als Quantenoperator zu replizieren.

An dieser Stelle geht es nun richtig zur Sache. Ein Qubit-Array kann mögliche Array-Elemente darstellen.$n$$2^n$

In ähnlicher Weise kann ein Qubit-Quantenoperator auf diesen gesamten Quantenraum einwirken und eine Antwort liefern, die wir interpretieren können.$n$$2^n$

Weitere Informationen finden Sie in diesem Wikipedia-Artikel .

Wenn wir diese Fourier-Transformation in einem exponentiell großen Datensatz mit nur Qubits durchführen können, können wir die Periode sehr schnell finden.$n$

Wenn wir die Periode sehr schnell finden können, können wir schnell eine Schätzung für$(p-1)(q-1)$

Wenn wir das schnell schaffen, können wir mit unserem Wissen über einen Stich bei der Überprüfung von .$N=pq$$p,q$

Das ist was hier los ist, auf einem sehr hohen Niveau.

Was Quantencomputer dazu befähigt, große Zahlen zu faktorisieren, ist ihre Fähigkeit, das Periodenfindungsproblem zu lösen (und eine mathematische Tatsache, die das Finden von Primfaktoren mit dem Finden von Perioden in Beziehung setzt). Das ist im Grunde genommen Shors Algorithmus auf den Punkt gebracht. Es stellt sich jedoch nur die Frage, warum Quantencomputer bei der Periodenfindung gut sind.

Im Mittelpunkt der Periodenfindung steht die Fähigkeit, den Wert einer Funktion über ihren gesamten Bereich (dh für jede denkbare Eingabe) zu berechnen. Dies nennt man Quantenparallelität. Das allein ist nicht gut genug, aber zusammen mit der Interferenz (die Fähigkeit, die Ergebnisse der Quantenparallelität auf eine bestimmte Weise zu kombinieren) ist es das auch.

Ich nehme an, diese Antwort könnte ein bisschen wie ein Klippenhänger sein: Wie nutzt man diese Fähigkeiten, um tatsächlich zu faktorisieren? Finden Sie die Antwort auf diese Frage auf Wikipedia über Shors Algorithmus .

Erstens kann Factoring auf einem Quantencomputer (unter Verwendung von "einheitlichen" Quantentoren) mittels Shors Algorithmus durchgeführt werden .

Eine Erklärung, die weder fortgeschrittene Mathematik noch fortgeschrittene Kenntnisse der Physik erfordert, ist dieser Blog-Beitrag von Scott Aaronson mit dem Titel "Shor, ich werde es tun."

Eine kurze Zusammenfassung seiner Ideen ist die folgende:

$\mathbb{R}^2$

$\rho$

Daher können uns unsere seltsamen Quantenuhren dabei helfen, effizient zu faktorisieren!