Wie zerlegt man bei einer Zerlegung für ein einheitliches

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Angenommen, wir haben eine Schaltungszerlegung eines einheitlichen Verwendung eines universellen Gatesatzes (zum Beispiel CNOT-Gates und einzelne Qubit-Unitaries). Gibt es eine direkte Möglichkeit, den Stromkreis der entsprechenden gesteuerten Einheit aufzuschreiben? $U$ Verwendung desselben universellen Gate-Sets? $C_U$

Nehmen zum Beispiel $U=i Y = H X H X$ als Schaltung:

Wir können die Gatter durch (CNOT) -Gatter ersetzen , um zu erhalten $X$ $C_X$ $C_U$ :

Dies funktioniert, wenn sich das Kontroll-Qubit im Zustand die Aktion auf dem Ziel ist , während für es gilt die Schaltung für . Für ein anderes , insbesondere wenn es auf mehrere Qubits einwirkt, kann das Aufstellen einer solchen Schaltung umständlich sein. Gibt es ein Rezept, um die Schaltung von erhalten, vorausgesetzt, Sie wissen, wie man baut ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
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Fragen Sie sich, wie Sie eine CU aus einem beliebigen 1-Qubit-U erstellen können? Eine Methode dazu finden Sie in Kapitel 4 von N & C (siehe z. B. Abbildung 4.6 in der letzten Ausgabe).

— Dies

oh wow, mir war das nicht bewusst. Sieht genauso aus wie mein Beispiel. Gut zu sehen, wie es die Phase

implementiert . Aber sie scheinen die Verallgemeinerung auf weitere Ziel-Qubits nicht zu diskutieren?

α

$\alpha$

— M. Stern

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Die Frage ist möglicherweise nicht vollständig definiert, in dem Sinne, dass Sie die Menge der Gatter angeben müssen, die Sie verwenden möchten, um aus einer Zerlegung von zu berechnen . In der Tat ist es ein bekanntes Ergebnis, dass jedes Qubit-Gatter unter Verwendung von und Single-Qubit-Operationen genau zerlegt werden , so dass eine naive Antwort auf die Frage wäre: Zerlegen Sie einfach unter Verwendung von Single-Qubit und . $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Eine andere Interpretation der Frage ist die folgende: gegeben , kann ich compute einen Satz einzelsträngiger Qubit - Operationen und die Verwendung s nicht auf der Steuer Qubit und s mit der Steuerung das erste Qubit zu sein? Dies kann durch Verallgemeinerung eines Ergebnisses aus Kapitel 4 von Nielsen & Chuang erreicht werden . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Sei ein Single-Qubit-Gate. Es kann dann gezeigt werden , dass immer als geschrieben werden kann , , wobei das Pauli X - Gate ist und und sind Single-Qubit - Operationen derart , daß ( siehe N & C für einen Beweis). Daraus folgt, dass $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ wobei ist ein Phase Gate mit dem ersten Qubit aufgebracht und sind angewandt zum zweiten Qubit. Dies ist unmittelbar, wenn Sie feststellen, dass das erste Qubit ist , dann

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ wird eine Identität, und auf dem zweiten Qubit haben Sie die Operationen

, die die Identität geben. Wenn andererseits das erste Qubit

, dann auf der zweiten Schiene hat man

, die (zusammen mit der Phase) gleich

per Definition.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Die obige Zerlegung kann verwendet werden, um einen naiven Weg zu finden, um für ein allgemeines einheitliches Bit-Gatter zu berechnen . Die Hauptbeobachtung ist , dass , wenn für jede Gruppe von Gattern , dann $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$ Wir wissen aber auch, dass jedes

Qubit

in CNOTs und Single-Qubit-Operationen zerlegt werden kann. Daraus folgt, dass

eine Folge von CCNOT- und

-Operationen ist, wobei CCNOT hier ein

Gatter ist, das auf ein Qubit angewendet wird, das auf zwei andere Qubits konditioniert ist, die

, und

ist eine Single-Qubit - Operation an einem gewissen Qubit. Aber auch hier kann jede CCNOT-Operation (auch Toffoli genannt ) zerlegt werden, wie in Abbildung 4.9 in N & C gezeigt, und die

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ werden wie im ersten Teil der Antwort gezeigt zerlegt.

Dieses Verfahren ermöglicht das Zerlegen eines allgemeinen einheitlichen Qubit-Gatters Verwendung nur von und Single-Qubit-Gattern. Sie können dann weiter gehen und dies verallgemeinern, um eine Zerlegung für den Fall mehrerer Kontroll-Qubits zu finden. Zu diesem Zweck benötigen Sie erst jetzt eine Möglichkeit, die Toffoli-Tore zu zerlegen, die wiederum in Abbildung 4.9 von N & C zu finden ist. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
quelle

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$ ten Qubit als Ziel. Sie können daher den Toffolis mit den bekannten Zerlegungsverfahren

— glS

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Although this might not answer your question completely, I think it might provide some direction of thinking. Here are two important facts:

Any unitary $2^{n}\times 2^{n}$ matrix $M$ , can be realized on a quantum computer with $n$ -quantum bits by a finite sequence of controlled-not and single qubit gates¹.
Suppose $U$ is a unitary $2\times 2$ matrix satisfying $\text{tr } U \neq 0$ , $\text{tr} (UX) \neq 0$ , and $\text{det } U \neq 1$ . Then six elementary gates are necessary and sufficient to implement a controlled $U$ -gate².

It should be possible to extend the second case to the general $n\times n$ case, given the first point, although I haven't found any paper which does that explicitly.

1 Elementary gates for quantum computation-A. Barenco (Oxford), C. H. Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), D. P. DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Optimal Realizations of Controlled Unitary Gates - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
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