( Ehrlichkeit und mathematische Integrität - angesichts der Anzahl der Stimmen zu dieser "Antwort" - haben mich veranlasst, diese Antwort zu bearbeiten. Ich habe mich so lange wie möglich zurückgehalten, weil sie als kurzer Witz gedacht war und nicht als etwas "Tiefes", das so hineingesteckt wurde Jede Erklärung schien dem Zweck zu widersprechen. Die Kommentare machen jedoch deutlich, dass ich klar sein sollte, um Missverständnisse zu vermeiden. )
Meine ursprüngliche Antwort:
Der Wortlaut dieses Teils der Spezifikation:
Wenn es 0 ist, möchte ich es auf 1 setzen, sonst setze ich es auf 0.
impliziert, dass die genaueste Lösung ist:
v = dirac_delta(0,v)
Erstens das Geständnis: Ich habe meine Delta-Funktionen verwirrt. Das Kronecker-Delta wäre etwas passender gewesen, aber nicht viel, da ich etwas wollte, das domänenunabhängig ist (das Kronecker-Delta wird hauptsächlich nur für ganze Zahlen verwendet). Aber ich hätte wirklich überhaupt keine Delta-Funktionen verwenden sollen, ich hätte sagen sollen:
v = characteristic_function({0},v)
Lassen Sie mich das klarstellen. Denken Sie daran, dass eine Funktion ein Tripel ist (X, Y, f) , wobei X und Y Mengen sind (als Domäne bzw. Codomäne bezeichnet) und f eine Regel ist, die jedem Element von X ein Element von Y zuweist . Wir schreiben oft die dreifache (X, Y, f) als f: X → Y . Bei einer Teilmenge von X , beispielsweise A , gibt es eine charakteristische Funktion, die eine Funktion χ A : X → {0,1} ist.(Es kann auch als Funktion einer größeren Codomäne wie ℕ oder ℝ angesehen werden.) Diese Funktion wird durch die Regel definiert:
χ A (x) = 1 wenn x ∈ A und χ A (x) = 0 wenn x ∉ A .
Wenn Sie Wahrheitstabellen mögen, ist dies die Wahrheitstabelle für die Frage "Ist das Element x von X ein Element der Teilmenge A ?".
Aus dieser Definition geht hervor, dass die charakteristische Funktion hier benötigt wird, wobei X eine große Menge enthält, die 0 und A = {0} enthält . Das hätte ich schreiben sollen.
Und so zu Delta-Funktionen. Dazu müssen wir uns mit Integration auskennen. Entweder du weißt es schon oder du weißt es nicht. Wenn Sie dies nicht tun, kann Ihnen nichts, was ich hier sagen kann, über die Feinheiten der Theorie erzählen, aber ich kann eine Zusammenfassung mit einem Satz geben. Ein Maß für eine Menge X ist im Wesentlichen "das, was benötigt wird, damit Durchschnittswerte funktionieren". Das heißt, wenn wir eine Menge X und ein Maß μ auf dieser Menge haben, dann gibt es eine Klasse von Funktionen X → ℝ , die messbare Funktionen genannt werden, für die der Ausdruck ∫ X f dμ Sinn macht und in einem vagen Sinn ist die „durchschnittliche“ von f über X .
Bei einer bestimmten Kennzahl für eine Menge kann eine "Kennzahl" für Teilmengen dieser Gruppe definiert werden. Dies erfolgt durch Zuweisen des Integrals seiner charakteristischen Funktion zu einer Teilmenge (vorausgesetzt, dies ist eine messbare Funktion). Dies kann unendlich oder undefiniert sein (die beiden unterscheiden sich geringfügig).
Es gibt viele Maßnahmen, aber es gibt zwei, die hier wichtig sind. Eines ist das Standardmaß auf der realen Linie, ℝ. Für diese Maßnahme ist ∫ ℝ f dμ so ziemlich das, was Sie in der Schule lernen (wird in Schulen noch Kalkül unterrichtet?): Fassen Sie kleine Rechtecke zusammen und nehmen Sie immer kleinere Breiten. In diesem Maß ist das Maß eines Intervalls seine Breite. Das Maß eines Punktes ist 0.
Ein weiteres wichtiges Maß, das für jede Menge funktioniert , wird als Punktmaß bezeichnet . Es ist so definiert, dass das Integral einer Funktion die Summe ihrer Werte ist:
∫ X f dμ = ∑ x ∈ X f (x)
Diese Kennzahl weist jeder Singleton-Menge die Kennzahl 1 zu. Dies bedeutet, dass eine Teilmenge genau dann eine endliche Kennzahl hat, wenn sie selbst endlich ist. Und nur sehr wenige Funktionen haben ein endliches Integral. Wenn eine Funktion ein endliches Integral hat, darf sie nur bei einer zählbaren Anzahl von Punkten ungleich Null sein . Die überwiegende Mehrheit der Funktionen, die Sie wahrscheinlich kennen, hat unter dieser Maßnahme kein endliches Integral.
Und nun zu Delta-Funktionen. Nehmen wir eine sehr breite Definition. Wir haben einen Meßraum (X, μ) (so dass ein Satz mit einem Maße darauf) und ein Element a ∈ X . Wir "definieren" die Delta-Funktion (abhängig von a ) als die "Funktion" δ a : X → ℝ mit der Eigenschaft, dass δ a (x) = 0 ist, wenn x ≠ a und ∫ X δ a dμ = 1 sind .
Die wichtigste Tatsache, um dies zu erreichen, ist folgende: Die Delta-Funktion muss keine Funktion sein . Es ist nicht richtig definiert: Ich habe nicht gesagt, was δ a (a) ist.
Was Sie an diesem Punkt tun, hängt davon ab, wer Sie sind. Die Welt teilt sich hier in zwei Kategorien. Wenn Sie Mathematiker sind, sagen Sie Folgendes:
Okay, die Delta-Funktion ist möglicherweise nicht definiert. Schauen wir uns seine hypothetische Eigenschaften und sehen , ob wir ein richtiges Zuhause für sie finden kann , wo es ist , definiert. Wir können das und haben am Ende Verteilungen . Dies sind keine (notwendigerweise) Funktionen, sondern Dinge, die sich ein wenig wie Funktionen verhalten, und oft können wir mit ihnen arbeiten, als wären sie Funktionen; Aber es gibt bestimmte Dinge, die sie nicht haben (wie "Werte"), also müssen wir vorsichtig sein.
Wenn Sie kein Mathematiker sind, sagen Sie Folgendes:
Okay, die Delta-Funktion ist möglicherweise nicht richtig definiert. Wer sagt das? Ein Haufen Mathematiker? Ignoriere sie! Was wissen sie?
Nachdem ich jetzt mein Publikum beleidigt habe, werde ich weitermachen.
Das Dirac-Delta wird normalerweise als Delta-Funktion eines Punktes (oft 0) in der realen Linie mit seinem Standardmaß angenommen. Diejenigen, die sich in den Kommentaren darüber beschweren, dass ich meine Deltas nicht kenne, tun dies, weil sie diese Definition verwenden. Ich entschuldige mich bei ihnen: Obwohl ich mich mit der Verteidigung des Mathematikers (wie von Humpty Dumpty populär gemacht : einfach alles neu definieren, damit es richtig ist) daraus herauswinden kann, ist es eine schlechte Form, einen Standardbegriff zu verwenden, um etwas anderes zu bedeuten.
Aber es gibt eine Delta-Funktion, die macht, was ich will, und es ist das, was ich hier brauche. Wenn ich einen nehmen Punktmaß auf einem Satz X dann gibt ist eine echte Funktion δ ein : X → ℝ welche Folgendes erfüllt die Kriterien für eine Delta - Funktion. Dies liegt daran, dass wir nach einer Funktion X → ℝ suchen, die außer bei a Null ist und bei der die Summe aller ihrer Werte 1 ist. Eine solche Funktion ist einfach: Die einzige fehlende Information ist ihr Wert bei a und Um die Summe auf 1 zu bringen, weisen wir ihr einfach den Wert 1 zu. Dies ist nichts anderes als die charakteristische Funktion auf {a} . Dann:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
In diesem Fall stimmen für eine Singleton-Menge die charakteristische Funktion und die Delta-Funktion überein.
Zusammenfassend gibt es hier drei Familien von "Funktionen":
- Die charakteristischen Funktionen von Singleton-Mengen,
- Die Delta-Funktionen,
- Das Kronecker-Delta funktioniert.
Die zweite davon ist die allgemeinste, da jede der anderen ein Beispiel dafür ist, wenn das Punktmaß verwendet wird. Aber der erste und dritte haben den Vorteil, dass sie immer echte Funktionen sind. Der dritte ist eigentlich ein Sonderfall des ersten für eine bestimmte Familie von Domänen (Ganzzahlen oder eine Teilmenge davon).
Als ich die Antwort ursprünglich schrieb, dachte ich schließlich nicht richtig (ich würde nicht so weit gehen zu sagen, dass ich verwirrt war , da ich hoffe, ich habe gerade gezeigt, dass ich weiß , wovon ich spreche, wenn Ich denke eigentlich zuerst, ich habe nur nicht viel nachgedacht). Die übliche Bedeutung des Dirac-Deltas ist hier nicht erwünscht, aber einer der Punkte meiner Antwort war, dass die Eingabedomäne nicht definiert wurde, so dass das Kronecker-Delta auch nicht richtig gewesen wäre. Die beste mathematische Antwort (die ich anstrebte) wäre also die charakteristische Funktion gewesen.
Ich hoffe, dass das alles klar ist; und ich hoffe auch, dass ich nie wieder ein mathematisches Stück mit HTML-Entitäten anstelle von TeX-Makros schreiben muss!