Algorithmus, um eine Lösung für A xor X = B + X zu finden

Suchen Sie bei gegebener Ganzzahl A und B die Ganzzahl X, damit:

• A, B <2 * 1e18
• A x oder X = B + X.

Ich bezweifle sehr, dass es möglich ist, diese Gleichung mit Mathematik zu lösen. Dies ist ein Codierungsproblem, auf das ich vor 3 Jahren gestoßen bin, und selbst jetzt kann ich es nicht selbst lösen.

Mein bisheriger Code: (Dies ist die Brute-Force-Lösung.)

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{

    unsigned long long a, b;
    cin >> a >> b;
    for (unsigned long long x = 1; x < max(a, b); x++) {
        unsigned long long c = a ^ x;
        unsigned long long d = b + x;
        if (c == d) {
            cout << x << endl;
            break;
            return 0;
        }
    }

    cout << -1; //if no such integer exists

    return 0;
}

Beachten Sie das A + X == (A xor X) + ((A and X)<<1). Damit:

A xor X = A + X - ((A and X)<<1) = B + X
A - B = (A and X)<<1

Und wir haben:

(A - B) and not (A<<1) = 0    (All bits in (A - B) are also set in (A<<1))
(A - B)>>1 = A and X

Wenn die Bedingung erfüllt ist, ist für jede ganze Zahl Y, die keine in A gesetzten Bits hat, (((A - B) >> 1) oder Y) eine Lösung. Wenn Sie nur eine Lösung wünschen, können Sie ((A - B) >> 1) verwenden, wobei Y = 0. Andernfalls gibt es keine Lösung.

int solve(int a, int b){
    int x = (a - b) >> 1;
    if ((a ^ x) == b + x)
        return x;
    else
        return ERROR;
}

Es ist nicht sehr schwer, man muss nur klein denken muß: Angenommen , wir schreiben A, Bund Xin binären und Aᵢist der Wert auf den äußersten rechten 2 entsprechenden ⁱ Bit.

Wir wissen das : Aₒ ⊕ Xₒ = Bₒ + Xₒ.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels herausfinden, wie dies bewertet werden kann: A = 15 und B = 6. Konvertieren in Binär:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 0
X = a b c d           X = a b c d

Jetzt haben wir einige Möglichkeiten. Lassen Sie uns die am weitesten rechts liegenden Teile von A und B analysieren:

1 ⊕ d = 0 + d

Wir wissen, dass ddas nur 0 oder 1 sein kann, also:

for d = 0
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 0 = 0 + 0    =>    1 = 0 (not possible)

for d = 1
1 ⊕ d = 0 + d    =>    1 ⊕ 1 = 0 + 1    =>    0 = 1 (not possible)

Es fällt auf, dass sich XOR genau wie eine binäre Summe verhält (mit dem Unterschied, dass XOR keine Übertragung für die nächste Bitsumme erzeugt):

    XOR           SUM
0 ⊕ 0 = 0  |   0 + 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1  |   0 + 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1  |   1 + 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0  |   1 + 1 = 0

Daher ist es nicht immer möglich, ein X zu finden, das erfüllt A ⊕ X = B + X, da es keinen Wert gibt d, der erfüllt 1 + d = 0 + d.

Wenn X existiert, können Sie es auf diese Weise von rechts nach links herausfinden und Stück für Stück finden.

VOLLSTÄNDIGES ARBEITSBEISPIEL

A = 15, B = 7:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d 

Hier gelten sowohl d = 0 als auch d = 1, was dann? Wir müssen das nächste Bit überprüfen. Angenommen, d = 1:

A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
X = a b c d           X = a b c d

1 ⊕ d = 1 + d    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (possible)

BUT 1 + 1 = 0 generates a carryover for the next bit sum:

Instead of 1 ⊕ c = 1 + c, we have 1 ⊕ c = 1 + c (+1) =
                                   1 ⊕ c = c  (not possible)

In diesem Fall muss d also 0 sein.

carryover                              0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                   0                     0

we know that c must be 0:

carryover                            0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a b 0 0           X = a b 0 0
        -----------------------------------
                 1 1                   1 1

aber was ist mit b? wir müssen wie immer das nächste Bit überprüfen:

if b = 0, there won't be a carryover, so we'll have:

1 ⊕ a = 0 + a  (and this is not possible)

so we try b = 1:

1 ⊕ b = 1 + b    =>    1 ⊕ 1 = 1 + 1    =>    0 = 0 (with carryover)

und jetzt für a:

carryover                          1 0 0
         A = 1 1 1 1           B = 0 1 1 1
         X = a 1 0 0           X = a 1 0 0
        -----------------------------------
               0 0 0                 0 0 0


1 ⊕ a = 0 + a (+1)    =>    1 ⊕ a = 1 + a

hier akann 0 und 1 sein, aber es muss 0 sein, um eine Verschleppung in der Summe zu vermeiden B + X.

Dann ist X = 0 1 0 0also X = 4.

CODE

#include <iostream>
using namespace std;

inline int bit(int a, int n) {
    if(n > 31) return 0; 
    return (a & ( 1 << n )) >> n; 
}

int main(){
    int A = 19;
    int B = 7;

    int X = 0;
    int carryover = 0;
    int aCurrent, aNext, bCurrent, bNext;

    for(int i = 0; i < 32; i++){
        aCurrent =  bit(A, i);      bCurrent =  bit(B, i);
        aNext =     bit(A, i + 1);  bNext =     bit(B, i + 1);

        if(aCurrent == 0 && bCurrent == 0){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 0;
        }
        else if(aCurrent == 0 && bCurrent == 1){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext == bNext){
                X += 1 << i;
            }
            carryover = 1;
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 0){
            if(!carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }
        else if(aCurrent == 1 && bCurrent == 1){
            if(carryover) {X = -1; break;}
            if(aNext != bNext){
                X += 1 << i;
                carryover = 1;
            }
            else {
                carryover = 0;
            }
        }

    }

    if(X != -1) cout<<"X = "<<X<<endl;
    else cout<<"X doesnt exist"<<endl;

    return 0;
}

Sie können es hier testen .