Mechanistisch gesehen ist die akzeptierte Antwort natürlich richtig, aber ich würde argumentieren, dass eine tiefere Antwort gegeben werden kann.
Zunächst ist es nützlich, die Frage zu klären, wie es @PeterCordes in einem Kommentar tut: "Gibt es eine multiplikative Identität für komplexe Zahlen, die mit inf + 0j funktioniert?" oder mit anderen Worten, OP sieht eine Schwäche in der Computerimplementierung komplexer Multiplikation oder gibt es etwas, das konzeptionell nicht stimmtinf+0j
Kurze Antwort:
Mit Hilfe von Polarkoordinaten können wir komplexe Multiplikationen als Skalierung und Rotation betrachten. Wenn wir einen unendlichen "Arm" sogar um 0 Grad drehen, wie im Fall des Multiplizierens mit einem, können wir nicht erwarten, dass seine Spitze mit endlicher Präzision platziert wird. In der Tat stimmt etwas grundsätzlich nicht inf+0j, nämlich dass, sobald wir im Unendlichen sind, ein endlicher Versatz bedeutungslos wird.
Lange Antwort:
Hintergrund: Die "große Sache", um die sich diese Frage dreht, ist die Erweiterung eines Zahlensystems (denken Sie an reelle oder komplexe Zahlen). Ein Grund, warum man das tun möchte, ist, ein Konzept der Unendlichkeit hinzuzufügen oder zu "verdichten", wenn man zufällig Mathematiker ist. Es gibt auch andere Gründe ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), aber wir sind hier nicht interessiert.
Einpunktverdichtung
Das Knifflige an einer solchen Erweiterung ist natürlich, dass diese neuen Zahlen in die vorhandene Arithmetik passen sollen. Am einfachsten ist es, ein einzelnes Element im Unendlichen hinzuzufügen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) und es gleich Null zu machen, geteilt durch Null. Dies funktioniert für die Realzahlen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) und die komplexen Zahlen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ).
Andere Erweiterungen ...
Während die Ein-Punkt-Verdichtung einfach und mathematisch fundiert ist, wurden "reichhaltigere" Erweiterungen mit mehreren Infinties gesucht. Der IEEE 754-Standard für echte Gleitkommazahlen hat + inf und -inf ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Sieht natürlich und unkompliziert aus, zwingt uns aber bereits dazu, durch Reifen zu springen und Dinge wie https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero zu erfinden-0
... der komplexen Ebene
Was ist mit mehr als einer Inf-Erweiterung der komplexen Ebene?
In Computern werden komplexe Zahlen typischerweise implementiert, indem zwei fp-Realzahlen zusammengefügt werden, eine für den Realwert und eine für den Imaginärteil. Das ist vollkommen in Ordnung, solange alles endlich ist. Sobald jedoch Unendlichkeiten betrachtet werden, werden die Dinge schwierig.
Die komplexe Ebene hat eine natürliche Rotationssymmetrie, die sich gut in die komplexe Arithmetik einfügt, da das Multiplizieren der gesamten Ebene mit e ^ phij dasselbe ist wie eine Phi-Radian-Rotation um 0.
Das Anhang-G-Ding
Um die Dinge einfach zu halten, verwendet komplexes fp einfach die Erweiterungen (+/- inf, nan usw.) der zugrunde liegenden Realzahlimplementierung. Diese Wahl mag so natürlich erscheinen, dass sie nicht einmal als Wahl wahrgenommen wird, aber schauen wir uns genauer an, was sie impliziert. Eine einfache Visualisierung dieser Erweiterung der komplexen Ebene sieht aus wie (I = unendlich, f = endlich, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Da es sich bei einer echten komplexen Ebene jedoch um eine Ebene handelt, die die komplexe Multiplikation berücksichtigt, wäre eine aussagekräftigere Projektion erforderlich
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
In dieser Projektion sehen wir die "ungleichmäßige Verteilung" von Unendlichkeiten, die nicht nur hässlich ist, sondern auch die Wurzel von Problemen der Art, unter der OP gelitten hat: Die meisten Unendlichkeiten (die der Formen (+/- inf, endlich) und (endlich, +) / -inf) werden in den vier Hauptrichtungen zusammengefasst, alle anderen Richtungen werden durch nur vier Unendlichkeiten (+/- inf, + -inf) dargestellt. Es sollte nicht überraschen, dass die Erweiterung der komplexen Multiplikation auf diese Geometrie ein Albtraum ist .
Anhang G der C99-Spezifikation versucht sein Bestes, damit es funktioniert, einschließlich des Verbiegens der Regeln für die Art infund Weise und nanInteraktion (im Wesentlichen infTrümpfe nan). Das Problem von OP wird umgangen, indem Real und ein vorgeschlagener rein imaginärer Typ nicht zum Komplex befördert werden, aber wenn sich die reale 1 anders verhält als die komplexe 1, erscheint mir dies nicht als Lösung. Bezeichnenderweise wird in Anhang G nicht vollständig angegeben, was das Produkt zweier Unendlichkeiten sein soll.
Können wir es besser machen?
Es ist verlockend, diese Probleme durch die Wahl einer besseren Geometrie der Unendlichkeiten zu beheben. In Analogie zur erweiterten reellen Linie könnten wir für jede Richtung eine Unendlichkeit hinzufügen. Diese Konstruktion ähnelt der Projektionsebene, fasst jedoch keine entgegengesetzten Richtungen zusammen. Unendlichkeiten würden in Polarkoordinaten inf xe ^ {2 omega pi i} dargestellt, die Definition von Produkten wäre unkompliziert. Insbesondere würde das Problem von OP ganz natürlich gelöst.
Aber hier endet die gute Nachricht. In gewisser Weise können wir zurück auf den ersten Platz geschleudert werden, indem wir - nicht unangemessen - verlangen, dass unsere Newstyle-Unendlichkeiten Funktionen unterstützen, die ihre Real- oder Imaginärteile extrahieren. Addition ist ein weiteres Problem; Wenn wir zwei nichtantipodale Unendlichkeiten hinzufügen, müssten wir den Winkel auf undefiniert setzen, dh nan(man könnte argumentieren, dass der Winkel zwischen den beiden Eingabewinkeln liegen muss, aber es gibt keine einfache Möglichkeit, diese "partielle Nanität" darzustellen).
Riemann zur Rettung
In Anbetracht dessen ist vielleicht die gute alte Ein-Punkt-Verdichtung die sicherste Sache. Vielleicht haben die Autoren von Anhang G dasselbe empfunden, als sie eine Funktion beauftragt haben cproj, die alle Unendlichkeiten zusammenfasst.
Hier ist eine verwandte Frage , die von Personen beantwortet wird, die in diesem Bereich kompetenter sind als ich.
