Es gibt eine Sache, die viele Menschen beim Umgang mit Schleifen und Invarianten nicht sofort erkennen. Sie werden zwischen der Schleifeninvariante und der Schleifenbedingung (der Bedingung, die die Beendigung der Schleife steuert) verwechselt.
Wie die Leute betonen, muss die Schleifeninvariante wahr sein
- bevor die Schleife beginnt
- vor jeder Iteration der Schleife
- nachdem die Schleife beendet ist
(obwohl es während des Körpers der Schleife vorübergehend falsch sein kann). Auf der anderen Seite der Schleife bedingte müssen , nachdem die Schleife beendet falsch sein, sonst wäre die Schleife nie enden.
So ist die Schleifeninvariante und die Schleife bedingte müssen verschiedene Bedingungen geknüpft werden.
Ein gutes Beispiel für eine komplexe Schleifeninvariante ist die binäre Suche.
bsearch(type A[], type a) {
start = 1, end = length(A)
while ( start <= end ) {
mid = floor(start + end / 2)
if ( A[mid] == a ) return mid
if ( A[mid] > a ) end = mid - 1
if ( A[mid] < a ) start = mid + 1
}
return -1
}
Die Schleifenbedingung scheint also ziemlich einfach zu sein - wenn Start> Ende, endet die Schleife. Aber warum ist die Schleife richtig? Was ist die Schleifeninvariante, die ihre Richtigkeit beweist?
Die Invariante ist die logische Aussage:
if ( A[mid] == a ) then ( start <= mid <= end )
Diese Aussage ist eine logische Tautologie - sie gilt immer im Kontext der spezifischen Schleife / des Algorithmus, die wir zu beweisen versuchen . Außerdem werden nützliche Informationen zur Richtigkeit der Schleife nach deren Beendigung bereitgestellt.
Wenn wir zurückkehren, weil wir das Element im Array gefunden haben, ist die Aussage eindeutig wahr, da if A[mid] == adann aim Array ist und midzwischen Anfang und Ende liegen muss. Und wenn die Schleife beendet , weil start > enddann kann es keine Zahl , so dass start <= mid und mid <= end und deshalb wissen wir , dass die Aussage A[mid] == afalsch sein muss. Infolgedessen ist die logische Gesamtaussage jedoch immer noch im Null-Sinne wahr. (In der Logik ist die Aussage wenn (falsch) dann (etwas) immer wahr.)
Was ist nun mit dem, was ich über die Schleifenbedingung gesagt habe, die notwendigerweise falsch ist, wenn die Schleife endet? Es sieht so aus, als ob, wenn das Element im Array gefunden wird, die Schleifenbedingung wahr ist, wenn die Schleife endet!? Es ist eigentlich nicht so, weil die implizite Schleifenbedingung wirklich ist, while ( A[mid] != a && start <= end )aber wir verkürzen den tatsächlichen Test, da der erste Teil impliziert ist. Diese Bedingung ist nach der Schleife eindeutig falsch, unabhängig davon, wie die Schleife endet.