Finden Sie das k-te kleinste Element in einem binären Suchbaum auf optimale Weise

Ich muss das k-te kleinste Element im binären Suchbaum finden, ohne eine statische / globale Variable zu verwenden. Wie kann man es effizient erreichen? Die Lösung, die ich im Kopf habe, ist die Operation in O (n), der schlimmste Fall, da ich vorhabe, den gesamten Baum in der Reihenfolge zu durchlaufen. Aber tief im Inneren habe ich das Gefühl, dass ich die BST-Eigenschaft hier nicht benutze. Ist meine angenommene Lösung korrekt oder gibt es eine bessere?

Hier ist nur ein Überblick über die Idee:

In einer BST Tenthält der linke Teilbaum des Knotens nur Elemente, die kleiner als der darin gespeicherte Wert sind T. Wenn kes kleiner als die Anzahl der Elemente im linken Teilbaum ist, muss das kkleinste Element zum linken Teilbaum gehören. Wenn kes größer ist, befindet sich das kkleinste Element im rechten Teilbaum.

Wir können die BST erweitern, damit jeder Knoten die Anzahl der Elemente in seinem linken Teilbaum speichert (vorausgesetzt, der linke Teilbaum eines bestimmten Knotens enthält diesen Knoten). Mit dieser Information ist es einfach, den Baum zu durchlaufen, indem wiederholt nach der Anzahl der Elemente im linken Teilbaum gefragt wird, um zu entscheiden, ob in den linken oder rechten Teilbaum zurückgegriffen werden soll.

Nehmen wir nun an, wir befinden uns am Knoten T:

1. Wenn k == num_elements (linker Teilbaum von T) ist , ist die gesuchte Antwort der Wert im Knoten T.
2. Wenn k> num_elements (linker Teilbaum von T) ist , können wir natürlich den linken Teilbaum ignorieren, da diese Elemente auch kleiner als der kkleinste sind. Wir reduzieren das Problem also darauf, das k - num_elements(left subtree of T)kleinste Element des richtigen Teilbaums zu finden.
3. Wenn k <num_elements (linker Teilbaum von T) ist , befindet sich der kkleinste Teil irgendwo im linken Teilbaum, sodass wir das Problem darauf reduzieren, das kkleinste Element im linken Teilbaum zu finden.

Komplexitätsanalyse:

Dies braucht O(depth of node)Zeit, was O(log n)im schlimmsten Fall bei einer ausgeglichenen BST oder O(log n)im Durchschnitt bei einer zufälligen BST der Fall ist .

Ein BST erfordert O(n)Speicherplatz, und ein anderer benötigt O(n)zum Speichern der Informationen über die Anzahl der Elemente. Alle BST-Operationen benötigen O(depth of node)Zeit, und es dauert O(depth of node)zusätzliche Zeit, um die Informationen zur "Anzahl der Elemente" zum Einfügen, Löschen oder Drehen von Knoten zu verwalten. Durch das Speichern von Informationen über die Anzahl der Elemente im linken Teilbaum bleibt daher die räumliche und zeitliche Komplexität einer BST erhalten.

Eine einfachere Lösung wäre, eine Inorder Traversal durchzuführen und das aktuell zu druckende Element zu verfolgen (ohne es zu drucken). Wenn wir k erreichen, drucken Sie das Element und überspringen Sie den Rest der Baumdurchquerung.

void findK(Node* p, int* k) {
  if(!p || k < 0) return;
  findK(p->left, k);
  --k;
  if(k == 0) { 
    print p->data;
    return;  
  } 
  findK(p->right, k); 
}

public int ReturnKthSmallestElement1(int k)
    {
        Node node = Root;

        int count = k;

        int sizeOfLeftSubtree = 0;

        while(node != null)
        {

            sizeOfLeftSubtree = node.SizeOfLeftSubtree();

            if (sizeOfLeftSubtree + 1 == count)
                return node.Value;
            else if (sizeOfLeftSubtree < count)
            {
                node = node.Right;
                count -= sizeOfLeftSubtree+1;
            }
            else
            {
                node = node.Left;
            }
        }

        return -1;
    }

Dies ist meine Implementierung in C #, basierend auf dem obigen Algorithmus. Ich dachte nur, ich würde es veröffentlichen, damit die Leute besser verstehen können, dass es für mich funktioniert

Danke IVlad

Eine einfachere Lösung wäre, eine Inorder Traversal durchzuführen und das aktuell zu druckende Element mit einem Zähler k zu verfolgen. Wenn wir k erreichen, drucken Sie das Element. Die Laufzeit ist O (n). Denken Sie daran, dass der Funktionstyp nicht ungültig sein kann. Er muss nach jedem rekursiven Aufruf seinen aktualisierten Wert von k zurückgeben. Eine bessere Lösung hierfür wäre eine erweiterte BST mit einem sortierten Positionswert an jedem Knoten.

public static int kthSmallest (Node pivot, int k){
    if(pivot == null )
        return k;   
    k = kthSmallest(pivot.left, k);
    k--;
    if(k == 0){
        System.out.println(pivot.value);
    }
    k = kthSmallest(pivot.right, k);
    return k;
}

// eine Java-Version ohne Rekursion hinzufügen

public static <T> void find(TreeNode<T> node, int num){
    Stack<TreeNode<T>> stack = new Stack<TreeNode<T>>();

    TreeNode<T> current = node;
    int tmp = num;

    while(stack.size() > 0 || current!=null){
        if(current!= null){
            stack.add(current);
            current = current.getLeft();
        }else{
            current = stack.pop();
            tmp--;

            if(tmp == 0){
                System.out.println(current.getValue());
                return;
            }

            current = current.getRight();
        }
    }
}

Sie können die iterative Inorder Traversal verwenden: http://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Iterative_Traversal mit einer einfachen Überprüfung des k-ten Elements, nachdem Sie einen Knoten aus dem Stapel entfernt haben.

Wenn Sie nur einen einfachen binären Suchbaum haben, können Sie nur mit dem kleinsten beginnen und nach oben gehen, um den richtigen Knoten zu finden.

Wenn Sie dies sehr oft tun, können Sie jedem Knoten ein Attribut hinzufügen, das angibt, wie viele Knoten sich in seinem linken Unterbaum befinden. Auf diese Weise können Sie den Baum direkt zum richtigen Knoten absteigen.

Rekursiver In-Order-Walk mit einem Zähler

Time Complexity: O( N ), N is the number of nodes
Space Complexity: O( 1 ), excluding the function call stack

Die Idee ähnelt der @ prasadvk-Lösung, weist jedoch einige Mängel auf (siehe Anmerkungen unten). Daher veröffentliche ich diese als separate Antwort.

// Private Helper Macro
#define testAndReturn( k, counter, result )                         \
    do { if( (counter == k) && (result == -1) ) {                   \
        result = pn->key_;                                          \
        return;                                                     \
    } } while( 0 )

// Private Helper Function
static void findKthSmallest(
    BstNode const * pn, int const k, int & counter, int & result ) {

    if( ! pn ) return;

    findKthSmallest( pn->left_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );

    counter += 1;
    testAndReturn( k, counter, result );

    findKthSmallest( pn->right_, k, counter, result );
    testAndReturn( k, counter, result );
}

// Public API function
void findKthSmallest( Bst const * pt, int const k ) {
    int counter = 0;
    int result = -1;        // -1 := not found
    findKthSmallest( pt->root_, k, counter, result );
    printf("%d-th element: element = %d\n", k, result );
}

Anmerkungen (und Unterschiede zur Lösung von @ prasadvk):

1. if( counter == k )Der Test ist an drei Stellen erforderlich : (a) nach dem linken Teilbaum, (b) nach der Wurzel und (c) nach dem rechten Teilbaum. Dies soll sicherstellen, dass das k-te Element für alle Standorte erkannt wird , dh unabhängig von dem Teilbaum, in dem es sich befindet.

2. if( result == -1 )Test erforderlich, um sicherzustellen, dass nur das Ergebniselement gedruckt wird. Andernfalls werden alle Elemente vom k-ten kleinsten bis zur Wurzel gedruckt.

Für einen nicht ausgeglichenen Suchbaum wird O (n) benötigt .

Für einen ausgeglichenen Suchbaum wird im schlimmsten Fall O (k + log n ) benötigt, im amortisierten Sinne jedoch nur O (k) .

Die zusätzliche Ganzzahl für jeden Knoten haben und verwalten: Die Größe des Unterbaums gibt O (log n) Zeitkomplexität. Ein solcher ausgeglichener Suchbaum wird normalerweise als RankTree bezeichnet.

Im Allgemeinen gibt es Lösungen (basierend nicht auf Baum).

Grüße.

Dies funktioniert gut: status: ist das Array, das enthält, ob ein Element gefunden wird. k: ist das zu findende k-te Element. count: Verfolgt die Anzahl der Knoten, die während der Baumdurchquerung durchlaufen wurden.

int kth(struct tree* node, int* status, int k, int count)
{
    if (!node) return count;
    count = kth(node->lft, status, k, count);  
    if( status[1] ) return status[0];
    if (count == k) { 
        status[0] = node->val;
        status[1] = 1;
        return status[0];
    }
    count = kth(node->rgt, status, k, count+1);
    if( status[1] ) return status[0];
    return count;
}

Dies ist definitiv nicht die optimale Lösung für das Problem, aber es ist eine weitere mögliche Lösung, die einige Leute für interessant halten könnten:

/**
 * Treat the bst as a sorted list in descending order and find the element 
 * in position k.
 *
 * Time complexity BigO ( n^2 )
 *
 * 2n + sum( 1 * n/2 + 2 * n/4 + ... ( 2^n-1) * n/n ) = 
 * 2n + sigma a=1 to n ( (2^(a-1)) * n / 2^a ) = 2n + n(n-1)/4
 *
 * @param t The root of the binary search tree.
 * @param k The position of the element to find.
 * @return The value of the element at position k.
 */
public static int kElement2( Node t, int k ) {
    int treeSize = sizeOfTree( t );

    return kElement2( t, k, treeSize, 0 ).intValue();
}

/**
 * Find the value at position k in the bst by doing an in-order traversal 
 * of the tree and mapping the ascending order index to the descending order 
 * index.
 *
 *
 * @param t Root of the bst to search in.
 * @param k Index of the element being searched for.
 * @param treeSize Size of the entire bst.
 * @param count The number of node already visited.
 * @return Either the value of the kth node, or Double.POSITIVE_INFINITY if 
 *         not found in this sub-tree.
 */
private static Double kElement2( Node t, int k, int treeSize, int count ) {
    // Double.POSITIVE_INFINITY is a marker value indicating that the kth 
    // element wasn't found in this sub-tree.
    if ( t == null )
        return Double.POSITIVE_INFINITY;

    Double kea = kElement2( t.getLeftSon(), k, treeSize, count );

    if ( kea != Double.POSITIVE_INFINITY )
        return kea;

    // The index of the current node.
    count += 1 + sizeOfTree( t.getLeftSon() );

    // Given any index from the ascending in order traversal of the bst, 
    // treeSize + 1 - index gives the
    // corresponding index in the descending order list.
    if ( ( treeSize + 1 - count ) == k )
        return (double)t.getNumber();

    return kElement2( t.getRightSon(), k, treeSize, count );
}

Unterschrift:

Node * find(Node* tree, int *n, int k);

Anruf als:

*n = 0;
kthNode = find(root, n, k);

Definition:

Node * find ( Node * tree, int *n, int k)
{
   Node *temp = NULL;

   if (tree->left && *n<k)
      temp = find(tree->left, n, k);

   *n++;

   if(*n==k)
      temp = root;

   if (tree->right && *n<k)
      temp = find(tree->right, n, k);

   return temp;
}

Na hier sind meine 2 Cent ...

int numBSTnodes(const Node* pNode){
     if(pNode == NULL) return 0;
     return (numBSTnodes(pNode->left)+numBSTnodes(pNode->right)+1);
}


//This function will find Kth smallest element
Node* findKthSmallestBSTelement(Node* root, int k){
     Node* pTrav = root;
     while(k > 0){
         int numNodes = numBSTnodes(pTrav->left);
         if(numNodes >= k){
              pTrav = pTrav->left;
         }
         else{
              //subtract left tree nodes and root count from 'k'
              k -= (numBSTnodes(pTrav->left) + 1);
              if(k == 0) return pTrav;
              pTrav = pTrav->right;
        }

        return NULL;
 }

Das ist was ich aber und es funktioniert. Es wird in o (log n) ausgeführt.

public static int FindkThSmallestElemet(Node root, int k)
    {
        int count = 0;
        Node current = root;

        while (current != null)
        {
            count++;
            current = current.left;
        }
        current = root;

        while (current != null)
        {
            if (count == k)
                return current.data;
            else
            {
                current = current.left;
                count--;
            }
        }

        return -1;


    } // end of function FindkThSmallestElemet

Nun, wir können einfach die Durchlaufreihenfolge verwenden und das besuchte Element auf einen Stapel schieben. pop k wie oft, um die Antwort zu bekommen.

Wir können auch nach k Elementen anhalten

Lösung für den vollständigen BST-Fall: -

Node kSmallest(Node root, int k) {
  int i = root.size(); // 2^height - 1, single node is height = 1;
  Node result = root;
  while (i - 1 > k) {
    i = (i-1)/2;  // size of left subtree
    if (k < i) {
      result = result.left;
    } else {
      result = result.right;
      k -= i;
    }  
  }
  return i-1==k ? result: null;
}

Der Linux-Kernel verfügt über eine hervorragende erweiterte Rot-Schwarz-Baum-Datenstruktur, die rangbasierte Operationen in O (log n) in linux / lib / rbtree.c unterstützt.

Einen sehr groben Java-Port finden Sie auch unter http://code.google.com/p/refolding/source/browse/trunk/core/src/main/java/it/unibo/refolding/alg/RbTree.java , zusammen mit RbRoot.java und RbNode.java. Das n-te Element kann durch Aufrufen von RbNode.nth (RbNode-Knoten, int n) erhalten werden, wobei die Wurzel des Baums übergeben wird.

Hier ist eine kurze Version in C # , die das k-te kleinste Element zurückgibt , jedoch die Übergabe von k als ref-Argument erfordert (es ist der gleiche Ansatz wie bei @prasadvk):

Node FindSmall(Node root, ref int k)
{
    if (root == null || k < 1)
        return null;

    Node node = FindSmall(root.LeftChild, ref k);
    if (node != null)
        return node;

    if (--k == 0)
        return node ?? root;
    return FindSmall(root.RightChild, ref k);
}

Es ist O (log n), um den kleinsten Knoten zu finden , und dann O (k), um zum k-ten Knoten zu gelangen, also ist es O (k + log n).

http://www.geeksforgeeks.org/archives/10379

Dies ist die genaue Antwort auf diese Frage:

1. Verwenden der Inorder Traversal zur O (n) -Zeit 2. Verwenden des Augmented Tree in der Zeit k + log n

Ich konnte keinen besseren Algorithmus finden. Also habe ich beschlossen, einen zu schreiben. Korrigieren Sie mich, wenn dies falsch ist.

class KthLargestBST{
protected static int findKthSmallest(BSTNode root,int k){//user calls this function
    int [] result=findKthSmallest(root,k,0);//I call another function inside
    return result[1];
}
private static int[] findKthSmallest(BSTNode root,int k,int count){//returns result[]2 array containing count in rval[0] and desired element in rval[1] position.
    if(root==null){
        int[]  i=new int[2];
        i[0]=-1;
        i[1]=-1;
        return i;
    }else{
        int rval[]=new int[2];
        int temp[]=new int[2];
        rval=findKthSmallest(root.leftChild,k,count);
        if(rval[0]!=-1){
            count=rval[0];
        }
        count++;
        if(count==k){
            rval[1]=root.data;
        }
        temp=findKthSmallest(root.rightChild,k,(count));
        if(temp[0]!=-1){
            count=temp[0];
        }
        if(temp[1]!=-1){
            rval[1]=temp[1];
        }
        rval[0]=count;
        return rval;
    }
}
public static void main(String args[]){
    BinarySearchTree bst=new BinarySearchTree();
    bst.insert(6);
    bst.insert(8);
    bst.insert(7);
    bst.insert(4);
    bst.insert(3);
    bst.insert(4);
    bst.insert(1);
    bst.insert(12);
    bst.insert(18);
    bst.insert(15);
    bst.insert(16);
    bst.inOrderTraversal();
    System.out.println();
    System.out.println(findKthSmallest(bst.root,11));
}

}}

Hier ist der Java-Code,

max (Knotenwurzel, int k) - um den k-ten größten zu finden

min (Node root, int k) - um kth Smallest zu finden

static int count(Node root){
    if(root == null)
        return 0;
    else
        return count(root.left) + count(root.right) +1;
}
static int max(Node root, int k) {
    if(root == null)
        return -1;
    int right= count(root.right);

    if(k == right+1)
        return root.data;
    else if(right < k)
        return max(root.left, k-right-1);
    else return max(root.right, k);
}

static int min(Node root, int k) {
    if (root==null)
        return -1;

    int left= count(root.left);
    if(k == left+1)
        return root.data;
    else if (left < k)
        return min(root.right, k-left-1);
    else
        return min(root.left, k);
}

das würde auch funktionieren. Rufen Sie einfach die Funktion mit maxNode im Baum auf

def k_largest (self, node, k): wenn k <0: return None
wenn k == 0: return node else: k - = 1 return self.k_largest (self.predecessor (node), k)

Ich denke, dies ist besser als die akzeptierte Antwort, da der ursprüngliche Baumknoten nicht geändert werden muss, um die Anzahl seiner untergeordneten Knoten zu speichern.

Wir müssen nur die In-Order-Traversal verwenden, um den kleinsten Knoten von links nach rechts zu zählen. Stoppen Sie die Suche, sobald die Anzahl gleich K ist.

private static int count = 0;
public static void printKthSmallestNode(Node node, int k){
    if(node == null){
        return;
    }

    if( node.getLeftNode() != null ){
        printKthSmallestNode(node.getLeftNode(), k);
    }

    count ++ ;
    if(count <= k )
        System.out.println(node.getValue() + ", count=" + count + ", k=" + k);

    if(count < k  && node.getRightNode() != null)
        printKthSmallestNode(node.getRightNode(), k);
}

Der beste Ansatz ist bereits vorhanden. Aber ich möchte einen einfachen Code dafür hinzufügen

int kthsmallest(treenode *q,int k){
int n = size(q->left) + 1;
if(n==k){
    return q->val;
}
if(n > k){
    return kthsmallest(q->left,k);
}
if(n < k){
    return kthsmallest(q->right,k - n);
}

}}

int size(treenode *q){
if(q==NULL){
    return 0;
}
else{
    return ( size(q->left) + size(q->right) + 1 );
}}

Verwenden der Hilfsergebnisklasse, um zu verfolgen, ob ein Knoten gefunden wurde und aktuell k.

public class KthSmallestElementWithAux {

public int kthsmallest(TreeNode a, int k) {
    TreeNode ans = kthsmallestRec(a, k).node;
    if (ans != null) {
        return ans.val;
    } else {
        return -1;
    }
}

private Result kthsmallestRec(TreeNode a, int k) {
    //Leaf node, do nothing and return
    if (a == null) {
        return new Result(k, null);
    }

    //Search left first
    Result leftSearch = kthsmallestRec(a.left, k);

    //We are done, no need to check right.
    if (leftSearch.node != null) {
        return leftSearch;
    }

    //Consider number of nodes found to the left
    k = leftSearch.k;

    //Check if current root is the solution before going right
    k--;
    if (k == 0) {
        return new Result(k - 1, a);
    }

    //Check right
    Result rightBalanced = kthsmallestRec(a.right, k);

    //Consider all nodes found to the right
    k = rightBalanced.k;

    if (rightBalanced.node != null) {
        return rightBalanced;
    }

    //No node found, recursion will continue at the higher level
    return new Result(k, null);

}

private class Result {
    private final int k;
    private final TreeNode node;

    Result(int max, TreeNode node) {
        this.k = max;
        this.node = node;
    }
}
}

Python-Lösung Zeitkomplexität: O (n) Raumkomplexität: O (1)

Die Idee ist, Morris Inorder Traversal zu verwenden

class Solution(object):
def inorderTraversal(self, current , k ):
    while(current is not None):    #This Means we have reached Right Most Node i.e end of LDR traversal

        if(current.left is not None):  #If Left Exists traverse Left First
            pre = current.left   #Goal is to find the node which will be just before the current node i.e predecessor of current node, let's say current is D in LDR goal is to find L here
            while(pre.right is not None and pre.right != current ): #Find predecesor here
                pre = pre.right
            if(pre.right is None):  #In this case predecessor is found , now link this predecessor to current so that there is a path and current is not lost
                pre.right = current
                current = current.left
            else:                   #This means we have traverse all nodes left to current so in LDR traversal of L is done
                k -= 1
                if(k == 0):
                    return current.val
                pre.right = None       #Remove the link tree restored to original here 
                current = current.right
        else:               #In LDR  LD traversal is done move to R 
            k -= 1
            if(k == 0):
                return current.val
            current = current.right

    return 0

def kthSmallest(self, root, k):
    return self.inorderTraversal( root , k  )

Ich habe eine nette Funktion geschrieben, um das k-te kleinste Element zu berechnen. Ich verwende die Durchquerung in der richtigen Reihenfolge und halte an, wenn das k-te kleinste Element erreicht ist.

void btree::kthSmallest(node* temp, int& k){
if( temp!= NULL)   {
 kthSmallest(temp->left,k);       
 if(k >0)
 {
     if(k==1)
    {
      cout<<temp->value<<endl;
      return;
    }

    k--;
 }

 kthSmallest(temp->right,k);  }}

int RecPrintKSmallest(Node_ptr head,int k){
  if(head!=NULL){
    k=RecPrintKSmallest(head->left,k);
    if(k>0){
      printf("%c ",head->Node_key.key);
      k--;
    }
    k=RecPrintKSmallest(head->right,k);
  }
  return k;
}

public TreeNode findKthElement(TreeNode root, int k){
    if((k==numberElement(root.left)+1)){
        return root;
    }
    else if(k>numberElement(root.left)+1){
        findKthElement(root.right,k-numberElement(root.left)-1);
    }
    else{
        findKthElement(root.left, k);
    }
}

public int numberElement(TreeNode node){
    if(node==null){
        return 0;
    }
    else{
        return numberElement(node.left) + numberElement(node.right) + 1;
    }
}

public static Node kth(Node n, int k){
    Stack<Node> s=new Stack<Node>();
    int countPopped=0;
    while(!s.isEmpty()||n!=null){
      if(n!=null){
        s.push(n);
        n=n.left;
      }else{
        node=s.pop();
        countPopped++;
        if(countPopped==k){
            return node;
        }
        node=node.right;

      }
  }

}}