Sind 2 ^ n und n * 2 ^ n gleichzeitig komplex?

Ressourcen, die ich zur Zeitkomplexität gefunden habe, sind unklar, wann es in Ordnung ist, Begriffe in einer Zeitkomplexitätsgleichung zu ignorieren, insbesondere bei nichtpolynomiellen Beispielen.

Mir ist klar, dass bei etwas in der Form n ² + n + 1 die letzten beiden Begriffe unbedeutend sind.

Ist bei zwei Kategorisierungen, 2 ⁿ und n * (2 ⁿ ), die zweite in derselben Reihenfolge wie die erste? Ist die zusätzliche n-Multiplikation dort wichtig? Normalerweise sagen Ressourcen einfach, dass x ⁿ exponentiell ist und viel schneller wächst ... dann fahren Sie fort.

Ich kann verstehen, warum dies nicht der Fall ist, da 2 ^{n n} deutlich übertreffen wird, aber da sie nicht addiert werden, wäre es beim Vergleich der beiden Gleichungen von großer Bedeutung. Tatsächlich wird der Unterschied zwischen ihnen immer ein Faktor von n sein. das scheint gelinde gesagt wichtig zu sein.

Sie müssen zur formalen Definition des großen O ( O) gehen, um diese Frage zu beantworten.

Die Definition ist, dass genau dann zu f(x)gehört, O(g(x))wenn die Grenze existiert, dh nicht unendlich ist. Kurz gesagt bedeutet dies, dass es eine Konstante gibt , so dass der Wert von niemals größer als ist .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

Im Falle Ihrer Frage lassen und lassen . Dann wird das noch unendlich wachsen. Daher gehört nicht dazu .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Ein schneller Weg, um zu sehen, dass n⋅2ⁿgrößer ist, besteht darin, eine Änderung der Variablen vorzunehmen. Lass m = 2ⁿ. Dann n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(nehmen Sie den Basis-2-Logarithmus auf beiden Seiten von m = 2ⁿgibt n = log₂m), und Sie können leicht zeigen, dass m log₂mschneller wächst als m.

Ich bin damit einverstanden, dass dies n⋅2ⁿnicht der O(2ⁿ)Fall ist , aber ich dachte, es sollte expliziter sein, da das Limit der überlegenen Nutzung nicht immer gilt.

Nach der formalen Definition von Big-O: f(n)ist in, O(g(n))wenn es Konstanten gibt c > 0und n₀ ≥ 0solche, die für alles, was n ≥ n₀wir haben f(n) ≤ c⋅g(n). Es kann leicht gezeigt werden, dass für f(n) = n⋅2ⁿund keine solchen Konstanten existieren g(n) = 2ⁿ. Es kann jedoch gezeigt werden, dass g(n)in O(f(n)).

Mit anderen Worten, n⋅2ⁿist niedriger begrenzt durch 2ⁿ. Das ist intuitiv. Obwohl sie beide exponentiell sind und daher unter den meisten praktischen Umständen gleichermaßen unwahrscheinlich sind, können wir nicht sagen, dass sie in derselben Größenordnung liegen, da sie 2ⁿnotwendigerweise langsamer wachsen als n⋅2ⁿ.

Ich argumentiere nicht mit anderen Antworten, die besagen, dass das n⋅2ⁿschneller wächst als 2ⁿ. Aber das n⋅2ⁿWachstum ist immer noch nur exponentiell.

Wenn wir über Algorithmen sprechen, sagen wir oft, dass die zunehmende Komplexität exponentiell ist. So sehen wir sein 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, oder unsere n⋅2ⁿzu derselben Gruppe von Komplexität mit exponentiell wächst.

Um es ein bisschen mathematisch zu verstehen, betrachten wir eine Funktion f(x), die exponentiell wächst (nicht schneller als), wenn eine solche Konstante existiert c > 1, dass .f(x) = O(cx)

Für n⋅2ⁿdie Konstante ckann eine beliebige Zahl größer als 2, nehmen wir 3. Dann:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿund das ist weniger als 1für jeden n.

So 2ⁿwächst langsamer als n⋅2ⁿder letzte wiederum wächst langsamer als 2.000001ⁿ. Aber alle drei wachsen exponentiell.

Sie fragten: "Ist die zweite in der gleichen Reihenfolge wie die erste? Ist die zusätzliche n-Multiplikation dort von Bedeutung?" Dies sind zwei verschiedene Fragen mit zwei verschiedenen Antworten.

n 2 ^ n wächst asymptotisch schneller als 2 ^ n. Das ist die beantwortete Frage.

Aber Sie könnten fragen: "Wenn Algorithmus A 2 ^ n Nanosekunden und Algorithmus B n 2 ^ n Nanosekunden benötigt, was ist das größte n, in dem ich eine Lösung in einer Sekunde / Minute / Stunde / Tag / Monat / Jahr finden kann? Und Die Antworten sind n = 29/35/41/46/51/54 vs. 25/30/36/40/45/49. Kein großer Unterschied in der Praxis.

Die Größe des größten Problems, das in der Zeit T gelöst werden kann, ist in beiden Fällen O (in T).