Ist log (n!) = Θ (n · log (n))?

Ich soll zeigen, dass log ( n !) = Θ ( n · log ( n )) .

Es wurde ein Hinweis gegeben, dass ich die Obergrenze mit n ⁿ und die Untergrenze mit ( n / 2) ^{( n / 2) zeigen sollte} . Das scheint mir nicht so intuitiv zu sein. Warum sollte das so sein? Ich kann definitiv sehen, wie man n ⁿ in n · log ( n ) konvertiert (dh beide Seiten einer Gleichung protokolliert), aber das funktioniert irgendwie rückwärts.

Was wäre der richtige Ansatz, um dieses Problem anzugehen? Soll ich den Rekursionsbaum zeichnen? Daran ist nichts Rekursives, daher scheint dies kein wahrscheinlicher Ansatz zu sein.

Erinnere dich daran

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

Sie können die Obergrenze von erhalten

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

Und Sie können die Untergrenze erreichen, indem Sie etwas Ähnliches tun, nachdem Sie die erste Hälfte der Summe weggeworfen haben:

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

Mir ist klar, dass dies eine sehr alte Frage mit einer akzeptierten Antwort ist, aber keine dieser Antworten verwendet tatsächlich den im Hinweis vorgeschlagenen Ansatz.

Es ist ein ziemlich einfaches Argument:

n!(= 1 * 2 * 3 * ... * n) ist ein Produkt von nZahlen, die jeweils kleiner oder gleich sind n. Daher ist es weniger als das Produkt von nZahlen, die alle gleich sind n; dh , n^n.

Die Hälfte der Zahlen - dh n/2von ihnen - im n!Produkt sind größer oder gleich n/2. Daher ist ihr Produkt größer als das Produkt von n/2Zahlen, die alle gleich sind n/2; dh (n/2)^(n/2).

Führen Sie durchgehend Protokolle durch, um das Ergebnis zu ermitteln.

Entschuldigung, ich weiß nicht, wie ich die LaTeX-Syntax für den Stapelüberlauf verwenden soll.

Siehe Stirlings Annäherung :

ln (n!) = n · ln (n) - n + O (ln (n))

wobei die letzten beiden Begriffe weniger bedeutsam sind als der erste.

Für die Untergrenze

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg (n!)> = (1/2) (n lg n - 1)

Beide Grenzen kombinieren:

1/2 (n lg n - 1) <= lg (n!) <= N lg n

Durch Auswahl einer unteren Grenzkonstante größer als (1/2) können wir -1 innerhalb der Klammer kompensieren.

Somit ist lg (n!) = Theta (n lg n)

Wir helfen Ihnen weiter, wo Mick Sharpe Sie verlassen hat:

Die Ableitung ist recht einfach: siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm -> Gruppentheorie

log (n!) = log (n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1) = log (n) + log (n-1) + ... + log (2 ) + log (1)

Stellen Sie sich n als unendlich groß vor . Was ist unendlich minus eins? oder minus zwei? etc.

log (inf) + log (inf) + log (inf) + ... = inf * log (inf)

Und dann denke an inf als n.

Vielen Dank, ich fand Ihre Antworten überzeugend, aber in meinem Fall muss ich die Eigenschaften Θ verwenden:

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

Um das Problem zu überprüfen, habe ich dieses Web gefunden, in dem Sie den gesamten Prozess erklärt haben: http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

Dies könnte helfen:

e ln (x) = x

und

(l m ) n = l m * n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation Die Stirling-Approximation könnte Ihnen helfen. Es ist sehr hilfreich bei der Behandlung von Problemen mit Fakultäten im Zusammenhang mit großen Zahlen in der Größenordnung von 10 ^ 10 und höher.