C - Bestimmen Sie, ob eine Zahl eine Primzahl ist

Question 1

Ich versuche, eine Methode zu finden, die eine ganze Zahl verwendet und einen Booleschen Wert zurückgibt, um zu sagen, ob die Zahl eine Primzahl ist oder nicht, und ich weiß nicht viel C; Würde es jemandem etwas ausmachen, mir einige Hinweise zu geben?

Grundsätzlich würde ich das in C # so machen:

static bool IsPrime(int number)
{
    for (int i = 2; i < number; i++)
    {
        if (number % i == 0 && i != number)
            return false;
    }
    return true;
}

Question 2

OK, also vergiss C. Angenommen, ich gebe dir eine Nummer und frage dich, ob es eine Primzahl ist. Wie machst du das? Schreiben Sie die Schritte klar auf und sorgen Sie sich dann darum, sie in Code zu übersetzen.

Sobald Sie den Algorithmus festgelegt haben, können Sie leichter herausfinden, wie ein Programm geschrieben wird, und andere können Ihnen dabei helfen.

Bearbeiten: Hier ist der C # -Code, den Sie gepostet haben:

static bool IsPrime(int number) {
    for (int i = 2; i < number; i++) {
        if (number % i == 0 && i != number) return false;
    }
    return true;
}

Dies ist C fast so wie es ist; Es gibt keinen boolTyp in C und nein trueoder false, daher müssen Sie ihn ein wenig ändern (bearbeiten: Kristopher Johnson weist korrekt darauf hin, dass C99 den Header stdbool.h hinzugefügt hat). Da einige Benutzer keinen Zugriff auf eine C99-Umgebung haben (Sie sollten jedoch eine verwenden!), Nehmen wir diese geringfügige Änderung vor:

int IsPrime(int number) {
    int i;
    for (i=2; i<number; i++) {
        if (number % i == 0 && i != number) return 0;
    }
    return 1;
}

Dies ist ein perfekt gültiges C-Programm, das macht, was Sie wollen. Wir können es ohne großen Aufwand ein wenig verbessern. Beachten Sie zunächst, dass dies iimmer weniger als ist number, sodass die Prüfung i != numberimmer erfolgreich ist. wir können es loswerden.

Außerdem müssen Sie die Teiler nicht bis zum Ende ausprobieren number - 1. Sie können die Überprüfung beenden, wenn Sie sqrt (Nummer) erreichen. Da sqrtes sich um eine Gleitkommaoperation handelt, die eine ganze Reihe von Feinheiten mit sich bringt, werden wir nicht wirklich berechnen sqrt(number). Stattdessen können wir das einfach überprüfen i*i <= number:

int IsPrime(int number) {
    int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

Eine letzte Sache; Es gab einen kleinen Fehler in Ihrem ursprünglichen Algorithmus! Wenn numbernegativ oder null oder eins ist, behauptet diese Funktion, dass die Zahl eine Primzahl ist. Sie möchten wahrscheinlich richtig damit umgehen, und Sie möchten möglicherweise nicht numbersigniert werden, da Sie sich eher nur um positive Werte kümmern:

int IsPrime(unsigned int number) {
    if (number <= 1) return 0; // zero and one are not prime
    unsigned int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

Dies ist definitiv nicht der schnellste Weg, um zu überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, aber es funktioniert und ist ziemlich einfach. Wir mussten Ihren Code kaum ändern!

Question 3

Ich bin überrascht, dass niemand dies erwähnt hat.

Verwenden Sie das Sieb von Eratosthenes

Einzelheiten:

Grundsätzlich sind Nicht-Primzahlen durch eine andere Zahl als 1 und sich selbst teilbar
Deshalb: Eine Nicht-Primzahl ist ein Produkt von Primzahlen.

Das Sieb von Eratosthenes findet eine Primzahl und speichert sie. Wenn eine neue Zahl auf Primzahl geprüft wird, werden alle vorherigen Primzahlen mit der Liste der bekannten Primzahlen verglichen.

Gründe dafür:

Dieser Algorithmus / dieses Problem ist als " peinlich parallel " bekannt.
Es wird eine Sammlung von Primzahlen erstellt
Es ist ein Beispiel für ein dynamisches Programmierproblem
Es ist schnell!

Question 4

Stephen Canon hat es sehr gut beantwortet!

Aber

Der Algorithmus kann weiter verbessert werden, indem beobachtet wird, dass alle Primzahlen die Form 6k ± 1 haben, mit Ausnahme von 2 und 3.
Dies liegt daran, dass alle ganzen Zahlen für eine ganze Zahl k als (6k + i) ausgedrückt werden können und für i = –1, 0, 1, 2, 3 oder 4; 2 Teilungen (6k + 0), (6k + 2), (6k + 4); und 3 Teilungen (6k + 3).
Eine effizientere Methode besteht also darin, zu testen, ob n durch 2 oder 3 teilbar ist, und dann alle Zahlen der Form 6k ± 1 ≤ √n zu überprüfen.

Dies ist dreimal so schnell wie das Testen aller m bis zu √n.

int IsPrime(unsigned int number) {
    if (number <= 3 && number > 1) 
        return 1;            // as 2 and 3 are prime
    else if (number%2==0 || number%3==0) 
        return 0;     // check if number is divisible by 2 or 3
    else {
        unsigned int i;
        for (i=5; i*i<=number; i+=6) {
            if (number % i == 0 || number%(i + 2) == 0) 
                return 0;
        }
        return 1; 
    }
}

Question 5

Erstellen Sie eine Tabelle mit kleinen Primzahlen und prüfen Sie, ob diese Ihre Eingabenummer teilen.
Wenn die Zahl bis 1 überlebt hat, versuchen Sie Pseudo-Primalitätstests mit zunehmender Basis. Siehe zum Beispiel den Miller-Rabin-Primalitätstest .
Wenn Ihre Zahl bis 2 überlebt hat, können Sie daraus schließen, dass es sich um eine Primzahl handelt, wenn sie unter einigen bekannten Grenzen liegt. Andernfalls lautet Ihre Antwort nur "wahrscheinlich prim". Einige Werte für diese Grenzen finden Sie auf der Wiki-Seite.

Question 6

Dieses Programm ist sehr effizient, um eine einzelne Zahl auf Primalitätsprüfung zu prüfen.

bool check(int n){
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }

    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {
        return false;
    }
        int sq=sqrt(n); //include math.h or use i*i<n in for loop
    for (int i = 5; i<=sq; i += 6) {
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

Question 7

Überprüfen Sie den Modul jeder Ganzzahl von 2 bis zur Wurzel der zu überprüfenden Zahl.

Wenn der Modul gleich Null ist, ist er keine Primzahl.

Pseudocode:

bool IsPrime(int target)
{
  for (i = 2; i <= root(target); i++)
  {
    if ((target mod i) == 0)
    {
      return false;
    }
  }

  return true;
}

Question 8

Nachdem ich diese Frage gelesen hatte, war ich fasziniert von der Tatsache, dass einige Antworten eine Optimierung durch Ausführen einer Schleife mit Vielfachen von 2 * 3 = 6 boten.

Also erstelle ich eine neue Funktion mit der gleichen Idee, aber mit Vielfachen von 2 * 3 * 5 = 30.

int check235(unsigned long n)
{
    unsigned long sq, i;

    if(n<=3||n==5)
        return n>1;

    if(n%2==0 || n%3==0 || n%5==0)
        return 0;

    if(n<=30)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=7; i<=sq; i+=30)
        if (n%i==0 || n%(i+4)==0 || n%(i+6)==0 || n%(i+10)==0 || n%(i+12)==0 
           || n%(i+16)==0 || n%(i+22)==0 || n%(i+24)==0)
            return 0;

        return 1;
}

Durch Ausführen beider Funktionen und Überprüfen der Zeiten konnte ich feststellen, dass diese Funktion wirklich schneller ist. Sehen wir uns 2 Tests mit 2 verschiedenen Primzahlen an:

$ time ./testprimebool.x 18446744069414584321 0
f(2,3)
Yes, its prime.    
real    0m14.090s
user    0m14.096s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744069414584321 1
f(2,3,5)
Yes, its prime.    
real    0m9.961s
user    0m9.964s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 0
f(2,3)
Yes, its prime.    
real    0m13.990s
user    0m13.996s
sys     0m0.004s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 1
f(2,3,5)
Yes, its prime.    
real    0m10.077s
user    0m10.068s
sys     0m0.004s

Also dachte ich, würde jemand zu viel gewinnen, wenn er verallgemeinert würde? Ich habe mir eine Funktion ausgedacht, die zuerst eine Belagerung durchführt, um eine bestimmte Liste von Urprimzahlen zu bereinigen, und dann diese Liste verwendet, um die größere zu berechnen.

int checkn(unsigned long n, unsigned long *p, unsigned long t)
{
    unsigned long sq, i, j, qt=1, rt=0;
    unsigned long *q, *r;

    if(n<2)
        return 0;

    for(i=0; i<t; i++)
    {
        if(n%p[i]==0)
            return 0;
        qt*=p[i];
    }
    qt--;

    if(n<=qt)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    if((q=calloc(qt, sizeof(unsigned long)))==NULL)
    {
        perror("q=calloc()");
        exit(1);
    }
    for(i=0; i<t; i++)
        for(j=p[i]-2; j<qt; j+=p[i])
            q[j]=1;

    for(j=0; j<qt; j++)
        if(q[j])
            rt++;

    rt=qt-rt;
    if((r=malloc(sizeof(unsigned long)*rt))==NULL)
    {
        perror("r=malloc()");
        exit(1);
    }
    i=0;
    for(j=0; j<qt; j++)
        if(!q[j])
            r[i++]=j+1;

    free(q);

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=1; i<=sq; i+=qt+1)
    {
        if(i!=1 && n%i==0)
            return 0;
        for(j=0; j<rt; j++)
            if(n%(i+r[j])==0)
                return 0;
    }
    return 1;
}

Ich gehe davon aus, dass ich den Code nicht optimiert habe, aber es ist fair. Nun die Tests. Aufgrund des vielen dynamischen Speichers habe ich erwartet, dass die Liste 2 3 5 etwas langsamer ist als die fest codierte Liste 2 3 5. Aber es war in Ordnung, wie Sie unten sehen können. Danach wurde die Zeit immer kleiner und gipfelte in der besten Liste:

2 3 5 7 11 13 17 19

Mit 8,6 Sekunden. Wenn also jemand ein fest codiertes Programm erstellen würde, das eine solche Technik verwendet, würde ich empfehlen, die Liste 2 3 und 5 zu verwenden, da der Gewinn nicht so groß ist. Aber auch, wenn Sie bereit sind zu codieren, ist diese Liste in Ordnung. Das Problem ist, dass Sie nicht alle Fälle ohne eine Schleife angeben ORskönnen , oder Ihr Code wäre sehr groß (es würde 1658879 geben , das heißt ||in der jeweiligen internen if). Die nächste Liste:

2 3 5 7 11 13 17 19 23

Die Zeit wurde mit 13 Sekunden immer größer. Hier der ganze Test:

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5
f(2,3,5)
Yes, its prime.
real    0m12.668s
user    0m12.680s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7
f(2,3,5,7)
Yes, its prime.
real    0m10.889s
user    0m10.900s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11
f(2,3,5,7,11)
Yes, its prime.
real    0m10.021s
user    0m10.028s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13
f(2,3,5,7,11,13)
Yes, its prime.
real    0m9.351s
user    0m9.356s
sys     0m0.004s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17
f(2,3,5,7,11,13,17)
Yes, its prime.
real    0m8.802s
user    0m8.800s
sys     0m0.008s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19
f(2,3,5,7,11,13,17,19)
Yes, its prime.
real    0m8.614s
user    0m8.564s
sys     0m0.052s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19 23
f(2,3,5,7,11,13,17,19,23)
Yes, its prime.
real    0m13.013s
user    0m12.520s
sys     0m0.504s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
f(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29)                                                                                                                         
q=calloc(): Cannot allocate memory

PS. Ich habe (r) nicht absichtlich freigegeben und diese Aufgabe dem Betriebssystem übergeben, da der Speicher freigegeben wird, sobald das Programm beendet wird, um etwas Zeit zu gewinnen. Es wäre jedoch ratsam, es freizugeben, wenn Sie beabsichtigen, Ihren Code nach der Berechnung weiter auszuführen.

BONUS

int check2357(unsigned long n)
{
    unsigned long sq, i;

    if(n<=3||n==5||n==7)
        return n>1;

    if(n%2==0 || n%3==0 || n%5==0 || n%7==0)
        return 0;

    if(n<=210)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=11; i<=sq; i+=210)
    {    
        if(n%i==0 || n%(i+2)==0 || n%(i+6)==0 || n%(i+8)==0 || n%(i+12)==0 || 
   n%(i+18)==0 || n%(i+20)==0 || n%(i+26)==0 || n%(i+30)==0 || n%(i+32)==0 || 
   n%(i+36)==0 || n%(i+42)==0 || n%(i+48)==0 || n%(i+50)==0 || n%(i+56)==0 || 
   n%(i+60)==0 || n%(i+62)==0 || n%(i+68)==0 || n%(i+72)==0 || n%(i+78)==0 || 
   n%(i+86)==0 || n%(i+90)==0 || n%(i+92)==0 || n%(i+96)==0 || n%(i+98)==0 || 
   n%(i+102)==0 || n%(i+110)==0 || n%(i+116)==0 || n%(i+120)==0 || n%(i+126)==0 || 
   n%(i+128)==0 || n%(i+132)==0 || n%(i+138)==0 || n%(i+140)==0 || n%(i+146)==0 || 
   n%(i+152)==0 || n%(i+156)==0 || n%(i+158)==0 || n%(i+162)==0 || n%(i+168)==0 || 
   n%(i+170)==0 || n%(i+176)==0 || n%(i+180)==0 || n%(i+182)==0 || n%(i+186)==0 || 
   n%(i+188)==0 || n%(i+198)==0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

Zeit:

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 7
h(2,3,5,7)
Yes, its prime.
real    0m9.123s
user    0m9.132s
sys     0m0.000s

Question 9

Ich möchte nur hinzufügen, dass keine gerade Zahl (Takt 2) eine Primzahl sein kann. Dies führt zu einer anderen Bedingung vor der for-Schleife. Der Endcode sollte also so aussehen:

int IsPrime(unsigned int number) {
    if (number <= 1) return 0; // zero and one are not prime
    if ((number > 2) && ((number % 2) == 0)) return 0; //no even number is prime number (bar 2)
    unsigned int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

Question 10

int is_prime(int val)
{
   int div,square;

   if (val==2) return TRUE;    /* 2 is prime */
   if ((val&1)==0) return FALSE;    /* any other even number is not */

   div=3;
   square=9;    /* 3*3 */
   while (square<val)
   {
     if (val % div == 0) return FALSE;    /* evenly divisible */
     div+=2;
     square=div*div;
   }
   if (square==val) return FALSE;
   return TRUE;
}

Die Behandlung von 2 und geraden Zahlen wird aus der Hauptschleife herausgehalten, die nur ungerade Zahlen geteilt durch ungerade Zahlen behandelt. Dies liegt daran, dass eine ungerade Zahl modulo eine gerade Zahl immer eine Antwort ungleich Null gibt, wodurch diese Tests überflüssig werden. Oder anders ausgedrückt, eine ungerade Zahl kann durch eine andere ungerade Zahl gleichmäßig teilbar sein, jedoch niemals durch eine gerade Zahl (E * E => E, E * O => E, O * E => E und O * O. => O).

Eine Division / ein Modul ist in der x86-Architektur sehr kostspielig, obwohl die Kosten unterschiedlich sind (siehe http://gmplib.org/~tege/x86-timing.pdf ). Multiplikationen sind dagegen recht günstig.

Question 11

Überlauffehler vermeiden

unsigned i, number;
...
for (i=2; i*i<=number; i++) {  // Buggy
for (i=2; i*i<=number; i += 2) {  // Buggy
// or
for (i=5; i*i<=number; i+=6) { // Buggy

Diese Formen sind falsch, wenn numberes sich um eine Primzahl handelt und i*inahe am Maximalwert des Typs liegt.

Das Problem besteht bei allen Ganzzahltypen signed, unsignedund darüber hinaus.

Beispiel:

Sei UINT_MAX_SQRTals Boden der Quadratwurzel der maximale ganzzahlige Wert. ZB 65535 bei unsigned32-Bit.

Bei for (i=2; i*i<=number; i++)tritt dieser 10 Jahre alte Fehler auf, weil die nächste Iteration zu einem Multiplikationsüberlauf führt, wenn UINT_MAX_SQRT*UINT_MAX_SQRT <= numberund numbereine Primzahl ist. Wäre der Typ ein vorzeichenbehafteter Typ gewesen, wäre der Überlauf UB. Bei vorzeichenlosen Typen ist dies selbst kein UB, aber die Logik ist zusammengebrochen. Die Interaktionen werden fortgesetzt, bis ein abgeschnittenes Produkt überschritten wird number. Ein falsches Ergebnis kann auftreten. unsignedVersuchen Sie mit 32-Bit 4.294.967.291, was eine Primzahl ist.

Wenn some_integer_type_MAXein Mersenne Prime gewesen ist , i*i<=numberist das nie wahr.

Um diesen Fehler zu vermeiden, beachten , dass number%i, number/iist effizient auf viele Compiler wie die Berechnungen des Quotienten und den Rest zusammen getan, so dass keine zusätzlichen Kosten entstehen sowohl gegenüber zu tun , nur 1.

Eine einfache Komplettlösung:

bool IsPrime(unsigned number) {
    for(unsigned i = 2; i <= number/i; i++){
        if(number % i == 0){
            return false;
        }
    }
    return number >= 2;
}

Question 12

Mit Sieve of Eratosthenes ist die Berechnung im Vergleich zum "bekannten" Primzahlalgorithmus wesentlich schneller.

Durch die Verwendung von Pseudocode aus dem Wiki ( https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes ) kann ich die Lösung auf C # finden.

public bool IsPrimeNumber(int val) {
    // Using Sieve of Eratosthenes.
    if (val < 2)
    {
        return false;
    }

    // Reserve place for val + 1 and set with true.
    var mark = new bool[val + 1];
    for(var i = 2; i <= val; i++)
    {
        mark[i] = true;
    }

    // Iterate from 2 ... sqrt(val).
    for (var i = 2; i <= Math.Sqrt(val); i++)
    {
        if (mark[i])
        {
            // Cross out every i-th number in the places after i (all the multiples of i).
            for (var j = (i * i); j <= val; j += i)
            {
                mark[j] = false;
            }
        }
    }

    return mark[val];
}

IsPrimeNumber (1000000000) benötigt 21s 758ms.

HINWEIS : Der Wert kann je nach Hardwarespezifikation variieren.