Unterschied zwischen Big-O- und Little-O-Notation

Was ist der Unterschied zwischen Big-O- Notation O(n)und Little-O- Notation o(n)?

f ∈ O (g) sagt im Wesentlichen

Für mindestens eine Wahl einer Konstanten k > 0 können Sie eine Konstante a finden, so dass die Ungleichung 0 <= f (x) <= kg (x) für alle x> a gilt.

Beachten Sie, dass O (g) die Menge aller Funktionen ist, für die diese Bedingung gilt.

f ∈ o (g) sagt im Wesentlichen

Für jede Wahl einer Konstanten k > 0 können Sie eine Konstante a finden, so dass die Ungleichung 0 <= f (x) <kg (x) für alle x> a gilt.

Beachten Sie erneut, dass o (g) eine Menge ist.

In Big-O ist es nur erforderlich, dass Sie einen bestimmten Multiplikator k finden, für den die Ungleichung über ein Minimum x hinausgeht .

In Little-o muss es sein, dass es ein Minimum x gibt, nach dem die Ungleichung gilt, egal wie klein Sie k machen , solange sie nicht negativ oder null ist.

Diese beiden beschreiben Obergrenzen, obwohl etwas kontraintuitiv, ist Little-o die stärkere Aussage. Es gibt eine viel größere Lücke zwischen den Wachstumsraten von f und g, wenn f ∈ o (g) als wenn f ∈ O (g).

Ein Beispiel für die Ungleichheit ist: f ∈ O (f) ist wahr, aber f ∈ o (f) ist falsch. Daher kann Big-O gelesen werden als "f ∈ O (g) bedeutet, dass das asymptotische Wachstum von f nicht schneller ist als das von g", während "f ∈ o (g) bedeutet, dass das asymptotische Wachstum von f streng langsamer ist als das von g". Es ist wie <=gegen <.

Insbesondere wenn der Wert von g (x) ein konstantes Vielfaches des Wertes von f (x) ist, dann ist f ∈ O (g) wahr. Aus diesem Grund können Sie Konstanten löschen, wenn Sie mit der Big-O-Notation arbeiten.

Damit jedoch f ∈ ​​o (g) wahr ist, muss g eine höhere Potenz von x in seine Formel aufnehmen, und daher muss der relative Abstand zwischen f (x) und g (x) tatsächlich größer werden, wenn x größer wird.

So verwenden Sie rein mathematische Beispiele (anstatt sich auf Algorithmen zu beziehen):

Folgendes gilt für Big-O, würde aber nicht zutreffen, wenn Sie little-o verwenden:

• x² ∈ O (x²)
• x² ∈ O (x² + x)
• x² ∈ O (200 · x²)

Für little-o gilt Folgendes:

• x² ∈ o (x³)
• x² ∈ o (x!)
• ln (x) ∈ o (x)

Beachten Sie, dass wenn f ∈ o (g) ist, dies f ∈ O (g) impliziert. zB x² ∈ o (x³), so dass es auch wahr ist, dass x² ∈ O (x³), (wieder denken Sie an O als <=und o als <)

Big-O ist zu wenig-o wie ≤zu <. Big-O ist eine inklusive Obergrenze, während Little-O eine strenge Obergrenze ist.

Zum Beispiel die Funktion f(n) = 3n :

• im O(n²) , o(n²)undO(n)
• nicht in O(lg n),o(lg n) odero(n)

Analog die Nummer 1 lautet :

• ≤ 2, < 2 Und≤ 1
• nicht ≤ 0, < 0oder< 1

Hier ist eine Tabelle, die die allgemeine Idee zeigt:

(Hinweis: Die Tabelle ist ein guter Leitfaden, aber ihre Grenzwertdefinition sollte sich auf den übergeordneten Grenzwert anstelle des normalen Grenzwerts beziehen. Beispielsweise 3 + (n mod 2) schwankt sie für immer zwischen 3 und 4. Sie ist in, O(1)obwohl sie keinen normalen Grenzwert hat, da sie immer noch vorhanden ist a lim sup: 4.)

Ich empfehle, sich zu merken, wie die Big-O-Notation in asymptotische Vergleiche umgewandelt wird. Die Vergleiche sind leichter zu merken, aber weniger flexibel, da man Dinge wie n ^{O (1)} = P nicht sagen kann.

Ich finde das, wenn ich etwas konzeptionell nicht erfassen kann und darüber nachdenke, warum man X verwenden würde ist es hilfreich zu verstehen. (Um nicht zu sagen, dass Sie das nicht versucht haben, ich bereite nur die Bühne vor.)

[Dinge, die Sie wissen] Eine übliche Methode zur Klassifizierung von Algorithmen ist die Laufzeit. Wenn Sie die große Komplexität eines Algorithmus angeben, können Sie ziemlich gut abschätzen, welcher Algorithmus "besser" ist - je nachdem, welcher die "kleinste" Funktion hat im O! Selbst in der realen Welt ist O (N) "besser" als O (N²), abgesehen von albernen Dingen wie supermassiven Konstanten und dergleichen. [/ Sachen, die Sie kennen]

Angenommen, es gibt einen Algorithmus, der in O (N) ausgeführt wird. Ziemlich gut, oder? _Angenommen , Sie (Sie brillante Person, Sie) haben einen Algorithmus entwickelt, der in O ( ^N ⁄ _{loglogloglogN} ) ausgeführt wird. YAY! Es ist schneller! Aber Sie würden sich dumm fühlen, wenn Sie Ihre Abschlussarbeit schreiben. Sie schreiben es also einmal und können sagen: "In diesem Artikel habe ich bewiesen, dass der Algorithmus X, der zuvor in der Zeit O (N) berechenbar war, tatsächlich in o (n) berechenbar ist."

Somit weiß jeder, dass Ihr Algorithmus schneller ist - um wie viel unklar ist, aber er weiß, dass er schneller ist. Theoretisch. :) :)