Warum sollte man bei vorzeichenbehafteten Zahlen das Zweierkomplement dem Vorzeichen und der Größe vorziehen?

Ich bin nur neugierig, ob es einen Grund gibt, warum zur Darstellung von -1 in Binär das Zweierkomplement verwendet wird: Umdrehen der Bits und Hinzufügen von 1?

-1 wird durch 11111111 (Zweierkomplement) und nicht (für mich intuitiver) 10000001 dargestellt, was binär 1 mit dem ersten Bit als negativem Flag ist.

Haftungsausschluss: Ich verlasse mich für meinen Job nicht auf binäre Arithmetik!

Dies geschieht so, dass für die Addition keine spezielle Logik für den Umgang mit negativen Zahlen erforderlich ist. Lesen Sie den Artikel auf Wikipedia .

Angenommen, Sie haben zwei Zahlen, 2 und -1. In Ihrer „intuitiven“ Art und Weise Zahlen repräsentieren, würden sie sein 0010und 1001jeweils (Ich bin auf 4 Bits für die Größe kleben). In der Art und Weise, wie sich die beiden ergänzen , sind sie 0010und 1111. Nehmen wir an, ich möchte sie hinzufügen.

Die Zweierkomplementaddition ist sehr einfach. Sie fügen normalerweise Zahlen hinzu und jedes Übertragsbit am Ende wird verworfen. Sie werden also wie folgt hinzugefügt:

  0010
+ 1111
=10001
= 0001 (discard the carry)

0001 ist 1, was das erwartete Ergebnis von "2 + (- 1)" ist.

Bei Ihrer "intuitiven" Methode ist das Hinzufügen jedoch komplizierter:

  0010
+ 1001
= 1011

Welches ist -3, richtig? Einfaches Hinzufügen funktioniert in diesem Fall nicht. Sie müssen beachten, dass eine der Zahlen negativ ist, und in diesem Fall einen anderen Algorithmus verwenden.

Bei dieser "intuitiven" Speichermethode ist die Subtraktion eine andere Operation als die Addition und erfordert zusätzliche Überprüfungen der Zahlen, bevor sie hinzugefügt werden können. Da die grundlegendsten Operationen (Addition, Subtraktion usw.) so schnell wie möglich sein sollen, müssen Sie Zahlen so speichern, dass Sie die einfachsten möglichen Algorithmen verwenden können.

Zusätzlich gibt es bei der "intuitiven" Speichermethode zwei Nullen:

0000  "zero"
1000  "negative zero"

Die intuitiv die gleiche Nummer haben, aber beim Speichern zwei unterschiedliche Werte haben. Jede Anwendung muss zusätzliche Schritte ausführen, um sicherzustellen, dass Werte ungleich Null auch keine negative Null sind.

Es gibt einen weiteren Bonus beim Speichern von Ints auf diese Weise, und dann müssen Sie die Breite des Registers erweitern, in dem der Wert gespeichert wird. Mit dem Zweierkomplement ist das Speichern einer 4-Bit-Zahl in einem 8-Bit-Register eine Frage der Wiederholung höchstwertiges Bit:

    0001 (one, in four bits)
00000001 (one, in eight bits)
    1110 (negative two, in four bits)
11111110 (negative two, in eight bits)

Es geht nur darum, das Vorzeichen des kleineren Wortes zu betrachten und es zu wiederholen, bis es die Breite des größeren Wortes auffüllt.

Bei Ihrer Methode müssten Sie das vorhandene Bit löschen. Dies ist eine zusätzliche Operation zusätzlich zum Auffüllen:

    0001 (one, in four bits)
00000001 (one, in eight bits)
    1010 (negative two, in four bits)
10000010 (negative two, in eight bits)

Sie müssen diese zusätzlichen 4 Bits in beiden Fällen noch setzen, aber im "intuitiven" Fall müssen Sie auch das 5. Bit löschen. Dies ist ein winziger zusätzlicher Schritt in einer der grundlegendsten und häufigsten Operationen, die in jeder Anwendung vorhanden sind.

Wikipedia sagt alles:

Das Zweierkomplementsystem hat den Vorteil, dass die Additions- und Subtraktionsschaltung nicht die Vorzeichen der Operanden untersuchen muss, um zu bestimmen, ob addiert oder subtrahiert werden soll. Diese Eigenschaft macht das System sowohl einfacher zu implementieren als auch in der Lage, Arithmetik mit höherer Genauigkeit einfach zu handhaben. Außerdem hat Null nur eine einzige Darstellung, wodurch die Feinheiten vermieden werden, die mit der negativen Null verbunden sind, die in Einsen-Komplement-Systemen existiert.

Mit anderen Worten, das Hinzufügen ist das gleiche, ob die Zahl negativ ist oder nicht.

Auch wenn diese Frage alt ist, lassen Sie mich meine 2 Cent eingeben.

Bevor ich dies erkläre, kehren wir zu den Grundlagen zurück. 2'-Komplement ist 1's Komplement + 1. Was ist nun die Ergänzung von 1 und welche Bedeutung hat sie zusätzlich?

Die Summe einer beliebigen n-Bit-Zahl und ihres 1-Komplements ergibt die höchstmögliche Zahl, die durch diese n-Bits dargestellt werden kann. Beispiel:

 0010 (2 in 4 bit system)
+1101 (1's complement of 2)
___________________________
 1111  (the highest number that we can represent by 4 bits)

Was passiert nun, wenn wir versuchen, dem Ergebnis 1 weitere hinzuzufügen? Dies führt zu einem Überlauf.

Das Ergebnis 1 0000ist 0 (da wir mit 4-Bit-Zahlen arbeiten (die 1 links ist ein Überlauf)

So ,

Any n-bit number + its 1's complement = max n-bit number
Any n-bit number + its 1'complement + 1 = 0 ( as explained above, overflow will occur as we are adding 1 to max n-bit number)

Jemand entschied sich dann, 1s Komplement + 1 als 2'-Komplement zu bezeichnen. Die obige Aussage lautet also: Jede n'bit-Zahl + das Zweierkomplement = 0, was das Zweierkomplement einer Zahl = - (dieser Zahl) bedeutet.

All dies wirft eine weitere Frage auf, warum wir nur das (n-1) der n Bits verwenden können, um eine positive Zahl darzustellen, und warum das am weitesten links stehende n-te Bit ein Vorzeichen darstellt (0 am ganz linken Bit bedeutet + ve Zahl und 1 bedeutet -ve Nummer). zB warum verwenden wir nur die ersten 31 Bits eines int in Java, um eine positive Zahl darzustellen, wenn das 32. Bit 1 ist, seine a -ve Zahl.

 1100 (lets assume 12 in 4 bit system)
+0100(2's complement of 12)
___________________________

1 0000 (Ergebnis ist Null, wobei der Übertrag 1 überläuft)

Somit funktioniert das System von (n + 2'-Komplement von n) = 0 immer noch. Die einzige Mehrdeutigkeit ist hier, dass das 2er-Komplement von 12 0100 ist, was mehrdeutig auch +8 darstellt, außer -12 im 2s-Komplementsystem.

Dieses Problem wird gelöst, wenn positive Zahlen immer eine 0 ganz links haben. In diesem Fall hat das Komplement ihrer 2 immer eine 1 im Bit ganz links, und wir haben nicht die Mehrdeutigkeit des gleichen Satzes von Bits, die die Komplementzahl einer 2 sowie eine + ve-Zahl darstellen.

Das Zweierkomplement ermöglicht das normale Addieren und Subtrahieren (wie Sie es für vorzeichenlose Zahlen gewickelt haben). Es verhindert auch -0 (eine separate Methode zur Darstellung von 0, die mit der normalen bitweisen Methode zum Vergleichen von Zahlen nicht gleich 0 wäre).

Dies soll Summen und Zahlenunterschiede vereinfachen. Eine Summe aus einer negativen und einer positiven Zahl, die in den Zweierkomplementen kodifiziert ist, entspricht der normalen Summierung.

Die übliche Implementierung der Operation ist "Flip the Bits and Add 1", aber es gibt eine andere Art der Definition, die wahrscheinlich die Begründung klarer macht. Das Komplement von 2 ist die Form, die Sie erhalten, wenn Sie die übliche vorzeichenlose Darstellung verwenden, bei der jedes Bit die nächste Potenz von 2 steuert und nur den höchstwertigen Term negativ macht.

Nehmen eines 8-Bit-Werts a ₇ a ₆ a ₅ a ₄ a ₃ a ₂ a ₁ a ₀

Die übliche vorzeichenlose binäre Interpretation lautet:
2 ⁷ * a ₇ + 2 ⁶ * a ₆ + 2 ⁵ * a ₅ + 2 ⁴ * a ₄ + 2 ³ * a ₃ + 2 ² * a ₂ + 2 ¹ * a ₁ + 2 ⁰ * a ₀
11111111 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Die Komplementinterpretation der beiden lautet:
-2 ⁷ * a ₇ + 2 ⁶ * a ₆ + 2 ⁵ * a ₅ + 2 ⁴ * a ₄ + 2 ³ * a ₃ + 2 ² * a ₂ + 2 ¹ * a ₁ + 2 ⁰ * a ₀
11111111 = -128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = -1

Keines der anderen Bits ändert überhaupt seine Bedeutung, und das Übertragen in eine ₇ ist "Überlauf" und es wird nicht erwartet, dass es funktioniert, so dass so ziemlich alle arithmetischen Operationen ohne Modifikation funktionieren (wie andere angemerkt haben). Die Vorzeichengröße überprüft im Allgemeinen das Vorzeichenbit und verwendet eine andere Logik.

Mit dem Zweierkomplement können negative und positive Zahlen ohne spezielle Logik addiert werden.

Wenn Sie versucht haben, 1 und -1 mit Ihrer Methode
10000001 (-1)
+00000001 (1)
zu
addieren, erhalten Sie 10000010 (-2)

Stattdessen können wir durch Verwendung des Zweierkomplements hinzufügen

11111111 (-1)
+00000001 (1) erhalten Sie
00000000 (0)

Gleiches gilt für die Subtraktion.

Wenn Sie versuchen, 4 von 6 zu subtrahieren (zwei positive Zahlen), können Sie 2 zu 4 ergänzen und die beiden addieren 6 + (-4) = 6 - 4 = 2

Dies bedeutet, dass die Subtraktion und Addition sowohl positiver als auch negativer Zahlen durch dieselbe Schaltung in der CPU erfolgen kann.

Um andere Antworten zu erweitern:

In Zweierkomplement

• Das Hinzufügen ist der gleiche Mechanismus wie das Hinzufügen einfacher positiver Ganzzahlen.
• Das Subtrahieren ändert sich auch nicht
• Multiplikation auch!

Die Teilung erfordert einen anderen Mechanismus.

All dies ist wahr, weil das Zweierkomplement nur eine normale modulare Arithmetik ist, bei der wir einige Zahlen durch Subtrahieren des Modulos als negativ betrachten.

Als ich die Antworten auf diese Frage las, stieß ich auf diesen Kommentar [bearbeitet].

Das 2er-Komplement von 0100 (4) ist 1100. Jetzt ist 1100 12, wenn ich normal sage. Wenn ich also normal 1100 sage, dann ist es 12, aber wenn ich 2s Komplement 1100 sage, dann ist es -4? Auch wenn in Java 1100 (nehmen wir jetzt 4 Bit an) gespeichert ist, wie wird dann bestimmt, ob es +12 oder -4 ist ?? - Hagrawal 2. Juli um 16:53 Uhr

Meiner Meinung nach ist die in diesem Kommentar gestellte Frage sehr interessant, und deshalb möchte ich sie zunächst umformulieren und dann eine Antwort und ein Beispiel geben.

FRAGE - Wie kann das System feststellen, wie ein oder mehrere benachbarte Bytes interpretiert werden müssen? Wie kann das System insbesondere feststellen, ob eine gegebene Folge von Bytes eine einfache Binärzahl oder eine Zweierkomplementzahl ist?

ANTWORT - Das System legt fest, wie eine Folge von Bytes durch Typen interpretiert wird. Typen definieren

• Wie viele Bytes müssen berücksichtigt werden?
• wie diese Bytes interpretiert werden müssen

BEISPIEL - Nachfolgend nehmen wir das an

• charsind 1 Byte lang
• shortsind 2 Bytes lang
• int's und float' s sind 4 Bytes lang

Bitte beachten Sie, dass diese Größen für mein System spezifisch sind. Obwohl sie ziemlich häufig sind, können sie von System zu System unterschiedlich sein. Wenn Sie neugierig sind, was sich auf Ihrem System befindet, verwenden Sie den Operator sizeof .

Zunächst definieren wir ein Array mit 4 Bytes und initialisieren alle mit der Binärzahl 10111101, die der Hexadezimalzahl entspricht BD.

// BD(hexadecimal) = 10111101 (binary)
unsigned char   l_Just4Bytes[ 4 ]   =   { 0xBD, 0xBD, 0xBD, 0xBD };

Dann lesen wir den Array-Inhalt mit verschiedenen Typen.

unsigned char und signed char

// 10111101 as a PLAIN BINARY number equals 189
printf( "l_Just4Bytes as unsigned char  -> %hi\n", *( ( unsigned char* )l_Just4Bytes ) );

// 10111101 as a 2'S COMPLEMENT number equals -67
printf( "l_Just4Bytes as signed char    -> %i\n", *( ( signed char* )l_Just4Bytes ) );

unsigned short und short

// 1011110110111101 as a PLAIN BINARY number equals 48573
printf( "l_Just4Bytes as unsigned short -> %hu\n", *( ( unsigned short* )l_Just4Bytes ) );

// 1011110110111101 as a 2'S COMPLEMENT number equals -16963
printf( "l_Just4Bytes as short          -> %hi\n", *( ( short* )l_Just4Bytes ) );

unsigned int, intundfloat

// 10111101101111011011110110111101 as a PLAIN BINARY number equals 3183328701
printf( "l_Just4Bytes as unsigned int   -> %u\n", *( ( unsigned int* )l_Just4Bytes ) );

// 10111101101111011011110110111101 as a 2'S COMPLEMENT number equals -1111638595
printf( "l_Just4Bytes as int            -> %i\n", *( ( int* )l_Just4Bytes ) );

// 10111101101111011011110110111101 as a IEEE 754 SINGLE-PRECISION number equals -0.092647
printf( "l_Just4Bytes as float          -> %f\n", *( ( float* )l_Just4Bytes ) );

Die 4 Bytes in RAM ( l_Just4Bytes[ 0..3 ]) bleiben immer genau gleich. Das einzige, was sich ändert, ist, wie wir sie interpretieren.

Wieder sagen wir dem System, wie sie durch Typen interpretiert werden sollen .

Zum Beispiel haben wir oben die folgenden Typen verwendet, um den Inhalt des l_Just4BytesArrays zu interpretieren

• unsigned char: 1 Byte in einfacher Binärdatei
• signed char: 1 Byte im 2er-Komplement
• unsigned short: 2 Bytes in einfacher binärer Notation
• short: 2 Bytes im 2er-Komplement
• unsigned int: 4 Bytes in einfacher binärer Notation
• int: 4 Bytes im 2er-Komplement
• float: 4 Bytes in IEEE 754-Notation mit einfacher Genauigkeit

[BEARBEITEN] Dieser Beitrag wurde nach dem Kommentar von user4581301 bearbeitet. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, diese wenigen hilfreichen Zeilen zu löschen!

Sie können Professor Jerry Cain aus Stanford in der zweiten Vorlesung (die Erklärung zur Ergänzung der 2 beginnt gegen 13:00 Uhr) in der Vorlesungsreihe mit dem Titel Programmierparadigmen, die auf dem YouTube-Kanal von Standford zu sehen ist, in der zweiten Vorlesung (die Erklärung zur Ergänzung der beiden beginnt) ansehen. Hier ist der Link zur Vorlesungsreihe: http://www.youtube.com/view_play_list?p=9D558D49CA734A02 .

Das Zweierkomplement wird verwendet, weil es einfacher in Schaltkreisen zu implementieren ist und auch keine negative Null zulässt.

Wenn es x Bits gibt, reicht das Zweierkomplement von + (2 ^ x / 2 + 1) bis - (2 ^ x / 2). Das Komplement eines Menschen läuft von + (2 ^ x / 2) bis - (2 ^ x / 2), erlaubt jedoch eine negative Null (0000 ist gleich 1000 im Komplementsystem eines 4-Bit-1).

Nun, Ihre Absicht ist es nicht wirklich, alle Bits Ihrer Binärzahl umzukehren. Es ist eigentlich ein glücklicher Zufall, dass das Subtrahieren von 1 von 1 zu 0 und das Subtrahieren von 0 von 1 zu 1 führt. Das Umdrehen von Bits führt diese Subtraktion also effektiv aus.

Aber warum finden Sie den Unterschied jeder Ziffer von 1? Nun, das bist du nicht. Ihre eigentliche Absicht ist es, die Differenz der angegebenen Binärzahl von einer anderen Binärzahl zu berechnen, die die gleiche Anzahl von Ziffern hat, aber nur Einsen enthält. Wenn Ihre Nummer beispielsweise 10110001 lautet und Sie alle diese Bits umdrehen, berechnen Sie effektiv (11111111 - 10110001).

Dies erklärt den ersten Schritt bei der Berechnung von Two's Complement. Lassen Sie uns nun den zweiten Schritt - Hinzufügen von 1 - ebenfalls in das Bild aufnehmen.

Addiere 1 zu der obigen binären Gleichung:

11111111 - 10110001 + 1

Was bekommst du? Dies:

100000000 - 10110001

Dies ist die endgültige Gleichung. Und indem Sie diese beiden Schritte ausführen, versuchen Sie, diesen endgültigen Unterschied zu finden: Die Binärzahl wird von einer anderen Binärzahl mit einer zusätzlichen Ziffer subtrahiert und enthält Nullen, außer an der Bitposition mit der höchsten Bedeutung.

Aber warum sehnen wir uns wirklich nach diesem Unterschied? Nun, von hier an wäre es wohl besser, wenn Sie den Wikipedia-Artikel lesen .

Wir führen nur Additionsoperationen sowohl für Addition als auch für Subtraktion durch. Wir fügen den zweiten Operanden zum Hinzufügen zum ersten Operanden hinzu. Zur Subtraktion addieren wir das Zweierkomplement des zweiten Operanden zum ersten Operanden.

Bei der 2er-Komplementdarstellung benötigen wir keine separaten digitalen Komponenten für die Subtraktion - es werden nur Addierer und Komplementäre verwendet.

Es ist anzumerken, dass bei einigen frühen Addiermaschinen vor den Tagen digitaler Computer die Subtraktion durchgeführt wird, indem der Bediener Werte mit einem andersfarbigen Satz von Legenden auf jedem Schlüssel eingibt (so dass jeder Schlüssel neun minus der zu zahlenden Zahl eingibt subtrahiert), und drücken Sie eine spezielle Taste, um einen Übertrag in eine Berechnung anzunehmen. Um auf einer sechsstelligen Maschine 1234 von einem Wert zu subtrahieren, drückte der Bediener Tasten, die normalerweise "998.765" anzeigen, und drückte eine Taste, um diesen Wert plus eins zur laufenden Berechnung hinzuzufügen. Die Zweierkomplementarithmetik ist einfach das binäre Äquivalent der früheren "Zehnerkomplement" -Arithmetik.

Der Vorteil der Durchführung einer Subtraktion durch das Komplementverfahren besteht in der Verringerung der Hardwarekomplexität.
Die unterschiedlichen digitalen Schaltungen für Addition und Subtraktion sind nicht erforderlich. Sowohl Addition als auch Subtraktion werden nur durch Addierer durchgeführt.

Ein Hauptvorteil der Zweierkomplementdarstellung, der hier noch nicht erwähnt wurde, besteht darin, dass die unteren Bits einer Zweikomplementsumme, -differenz oder -produkt nur von den entsprechenden Bits der Operanden abhängen . Der Grund dafür, dass der vorzeichenbehaftete 8-Bit-Wert für -1 darin 11111111besteht, dass eine beliebige Ganzzahl mit den niedrigsten 8 Bits 00000001von jeder anderen Ganzzahl mit den niedrigsten 8 Bits subtrahiert wird0000000 eine Ganzzahl ergibt, deren niedrigste 8 Bits sind11111111. Mathematisch gesehen wäre der Wert -1 eine unendliche Folge von Einsen, aber alle Werte innerhalb des Bereichs eines bestimmten Ganzzahltyps sind entweder alle Einsen oder alle Nullen nach einem bestimmten Punkt, so dass es für Computer praktisch ist, die Vorzeichen zu erweitern höchstwertiges Bit einer Zahl, als ob es eine unendliche Zahl von Einsen oder Nullen darstellt.

Das Zweierkomplement ist fast die einzige Darstellung mit vorzeichenbehafteten Zahlen, die bei Typen, die größer als die natürliche Wortgröße einer Binärmaschine sind, gut funktioniert, da Code beim Durchführen von Addition oder Subtraktion den niedrigsten Block jedes Operanden abrufen und den niedrigsten Block von berechnen kann das Ergebnis und speichern Sie das, laden Sie dann den nächsten Block jedes Operanden, berechnen Sie den nächsten Block des Ergebnisses und speichern Sie das usw. Somit kann sogar ein Prozessor, der alle Additionen und Subtraktionen benötigt, ein einzelnes 8-Bit-Register durchlaufen kann mit 32-Bit-Vorzeichen relativ effizient umgehen (langsamer als mit einem 32-Bit-Register, aber immer noch funktionsfähig).

Wenn Sie andere vom C-Standard zugelassene vorzeichenbehaftete Darstellungen verwenden, kann jedes Bit des Ergebnisses möglicherweise von einem beliebigen Bit der Operanden beeinflusst werden. Daher muss entweder ein ganzer Wert gleichzeitig in den Registern gespeichert werden, oder es müssen Berechnungen mit einem zusätzlichen Wert durchgeführt werden Schritt, der zumindest in einigen Fällen das Lesen, Ändern und Umschreiben jedes Teils des Ergebnisses erfordern würde.

Es gibt verschiedene Arten von Darstellungen:

1. vorzeichenlose Zahlendarstellung
2. signierte Nummerndarstellung
3. die komplementäre Repräsentation
4. Zweierkomplementdarstellung

- Darstellung nicht signierter Zahlen, die nur positive Zahlen darstellt

- Vorzeichenbehaftete Darstellung, die sowohl positive als auch negative Zahlen darstellt. In der vorzeichenbehafteten Zahlendarstellung repräsentiert das MSB-Bit das Vorzeichenbit und die Ruhebits die Zahl. Wenn MSB 0 ist, bedeutet dies, dass die Zahl positiv ist, und wenn MSB 1 ist, bedeutet dies, dass die Zahl negativ ist.

Problem bei der Darstellung vorzeichenbehafteter Zahlen ist, dass es zwei Werte für 0 gibt.

Das Problem bei der Komplementdarstellung ist, dass es zwei Werte für 0 gibt.

Wenn wir jedoch die Zweierkomplementdarstellung verwenden, gibt es nur einen Wert für 0, weshalb wir negative Zahlen in der Zweierkomplementform darstellen.

Quelle: Warum negative Zahlen in Zweierkomplementformbytes von Gigabyte gespeichert werden

Eine zufriedenstellende Antwort darauf, warum das Komplement von Two2 eher zur Darstellung negativer Zahlen als des Komplementsystems von One verwendet wird, besteht darin, dass das Komplementsystem von Two das Problem der Mehrfachdarstellung von 0 und die Notwendigkeit des End-Around-Carry löst, die im Komplementsystem des Einen zur Negativdarstellung bestehen Zahlen.

Weitere Informationen finden Sie unter https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations

Für End-around-Carry besuchen Sie https://en.wikipedia.org/wiki/End-around_carry