Wird dieser Code immer als falsch ausgewertet? Beide Variablen sind Zweierkomplement-Ints.

~x + ~y == ~(x + y)

Ich denke, es sollte eine Nummer geben, die die Bedingungen erfüllt. Ich habe versucht , die Zahlen zwischen Prüfung -5000und 5000doch nie erreicht Gleichheit. Gibt es eine Möglichkeit, eine Gleichung aufzustellen, um die Lösungen für die Bedingung zu finden?

Wird das Austauschen eines gegen das andere einen heimtückischen Fehler in meinem Programm verursachen?

Nehmen wir im Widerspruch an, dass es einige xund einige y(mod 2 ⁿ ) gibt, so dass

~(x+y) == ~x + ~y

Durch das Zweierkomplement * wissen wir, dass

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Unter Berücksichtigung dieses Ergebnisses haben wir:

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Daher ein Widerspruch. Daher ~(x+y) != ~x + ~yfür alle xund y(mod 2 ⁿ ).

^{* Es ist interessant festzustellen, dass auf einer Maschine mit Komplementarithmetik die Gleichheit tatsächlich für alle xund gilt y. Dies liegt daran, dass unter der eigenen Ergänzung , ~x = -x. Also , ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

Zweierkomplement

Wenn auf der überwiegenden Mehrheit der Computer xeine Ganzzahl vorliegt, -xwird diese als dargestellt ~x + 1. Gleichermaßen ~x == -(x + 1). Wenn Sie diese Substitution in Ihrer Gleichung vornehmen, erhalten Sie:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

Das ist ein Widerspruch, also ~x + ~y == ~(x + y)immer falsch .

Das heißt, die Pedanten werden darauf hinweisen, dass C kein Zweierkomplement benötigt, also müssen wir auch berücksichtigen ...

Komplement

In Einerkomplement , -xist einfach dargestellt als ~x. Null ist ein Sonderfall, der sowohl All-0- Darstellungen ( +0) als auch All-1- -0Darstellungen ( ) enthält. IIRC, C erfordert jedoch +0 == -0auch dann, wenn sie unterschiedliche Bitmuster aufweisen, sodass dies kein Problem sein sollte. Nur Ersatz ~mit -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

das gilt für alle xund y.

Betrachten Sie nur das Bit ganz rechts von beiden xund y(IE. Wenn sich x == 13das 1101in Basis 2 befindet, betrachten wir nur das letzte Bit, a 1) Dann gibt es vier mögliche Fälle:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Ich werde dies Ihnen überlassen, da dies Hausaufgaben sind (Hinweis: Es ist dasselbe wie das vorherige mit x und y getauscht).

x = 1, y = 1:

Ich werde dies auch Ihnen überlassen.

Sie können zeigen, dass das Bit ganz rechts auf der linken Seite und der rechten Seite der Gleichung bei jeder möglichen Eingabe immer unterschiedlich ist. Sie haben also bewiesen, dass beide Seiten nicht gleich sind, da mindestens das eine Bit gespiegelt ist von einander.

Wenn die Anzahl der Bits n ist

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Jetzt,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Daher sind sie immer ungleich, mit einer Differenz von 1.

Hinweis:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Angenommen, das Ziel der Frage besteht darin, Ihre Mathematik zu testen (und nicht Ihre Fähigkeiten zum Lesen der C-Spezifikationen), sollte dies Sie zur Antwort bringen.

Dies kann sowohl im Einsen als auch im Zweier (und sogar im 42er) nachgewiesen werden:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Jetzt lassen Sie a = yund wir haben:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

oder:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Daher ist in Zweierkomplementierung ~0 = -1der Satz falsch.

In der Ergänzung dazu ~0 = 0ist der Satz wahr.

Laut dem Buch von Dennis Ritchie implementiert C standardmäßig keine Zweierkomplemente. Daher ist Ihre Frage möglicherweise nicht immer wahr.

Lassen Sie MAX_INTdas int dargestellt werden durch 011111...111(für wie viele Bits es gibt). Dann wissen Sie das, ~x + x = MAX_INTund ~y + y = MAX_INTdeshalb werden Sie mit Sicherheit wissen, dass der Unterschied zwischen ~x + ~yund ~(x + y)ist 1.

C erfordert nicht, dass das Zweierkomplement das ist, was implementiert wird. Für vorzeichenlose Ganzzahlen wird jedoch eine ähnliche Logik angewendet. Unterschiede werden unter dieser Logik immer 1 sein!

Natürlich erfordert C dieses Verhalten nicht, da es keine Zweierkomplementdarstellung erfordert. Zum Beispiel erhält ~x = (2^n - 1) - x& ~y = (2^n - 1) - ydieses Ergebnis.

Ah, grundlegende diskrete Mathematik!

Schauen Sie sich De Morgans Gesetz an

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

Sehr wichtig für Boolesche Beweise!