Dies ist keine echte Antwort, sondern eine Erweiterung der Berechnung von Beugungsmustern aus @ whubers Antwort .
Erstens haben wir das Beugungsintegral. Die Funktion U p beschreibt die komplexe Amplitude in der Beobachtungsebene in einem Abstand ( x p , y p ) von der optischen Achse und einem Abstand L z von der Quelle (irgendein diffraktives Objekt, z. B. Lochblende, Kameraöffnung usw.). ) U s ist eine Funktion, die die komplexen Amplitude in der Quellebene beschreibt; Für eine extrem kleine Lochblende können Sie eine Dirac-Delta-Funktion verwenden . Die dritte Variable in U s ist 0 , da der Bequemlichkeit halber sagen wir das diffraktive Objekt ist der Ursprung des Koordinatensystems. Die Variablen x sund y s in ihren Argumenten bookkeep für die Tatsache , dass das Objekt , kann eine gewisse Größe hat in der x-y - Ebene.
Das mag nicht so schrecklich wie ein Integral aussehen, aber k und r sp sind beide nur Notationen für etwas Größeres:
Das Integrieren einer Funktion mit einem Radikal mit quadratischen Termen sowohl im Zähler von e als auch im Nenner ist in der Tat ein sehr unangenehmes Integral.
Man vereinfacht das Integral, indem man die Quadratwurzeln unter Verwendung der Binomialreihendarstellung entfernt und Terme höherer Ordnung abschneidet. Das Fraunhofer-Integral gilt, wenn man 2 Terme benötigt; Das Fresnel-Integral ist für den Fall, dass man 3 Terme benötigt. Der Beweis dafür ist etwas nuanciert, liegt jedoch außerhalb des Rahmens.
Wenn wir anfangen, diese Dinge zu manipulieren, um die Fresnel- und Fraunhofer-Beugungsintegrale zu erhalten, erhalten wir drei Größen.
Wenn Nfd * ( θ d ) 2 << 1, ist das Fresnel-Integral gültig. Wenn das wahr ist und Nfs << 1, gilt das Fraunhofer-Integral.
Die zwei Integrale sind:
Fresnel:
Fraunhofer:
wo
,
und ν x und ν y sind die Größe der Quelle in einer gegebenen Dimension geteilt durch die Wellenlänge des Lichts multipliziert mit dem Abstand zur Quelle. Normalerweise würde man schreiben ν s = d / ( λx s ).
Um @ whubers Frage zu beantworten, warum Sie vielleicht den einen oder anderen brauchen, bedarf es einiger Überlegungen.
Der Kommentar "In der Brennebene eines Abbildungsobjektivs ..." stammt wahrscheinlich aus einem Lehrbuch und impliziert, dass die Quelle der Beugung (dh die Lochblende, der Schlitz, was auch immer - diese Gleichungen sind hinsichtlich der Geometrie von ... agnostisch die Quelle) ist sehr weit weg. Leider kann sich das Objektiv nicht nur in einem beliebigen Abstand befinden und näher sein als es das Fraunhofer-Integral zulässt, sondern die Beugung entsteht auch innerhalb des Linsensystems einer Kamera.
Das korrekte Modell für die Beugung von der Blende einer Kamera ist eine n- seitige Blende ( n ist die Anzahl der Blendenlamellen im Objektiv), die von einer Punktquelle am Ort des Objekts im Bild beleuchtet wird, das das Starburst-Muster erzeugt.
Wenn die Objekte wirklich weit entfernt sind (ein paar Meter wären in Ordnung), verhalten sich die Punktquellen so, als wären sie ebene Wellen, und die auf Wikipedia durchgeführten Ableitungen sind in Ordnung.
Beispielsweise liegt die Apertur für eine Doppel-Gauß-50-mm-Linse in der Größenordnung von 40 bis 60 mm von der Bildebene entfernt. Es wird durch ein paar Linsen hinter der physikalischen Blende auf eine größere Entfernung abgebildet (dies ist der Ort der Austrittspupille), aber die Austrittspupille befindet sich nicht dort, wo sich die Funktion U s ( x s , y s , 0) befindet zentriert!
Für 500 nm und ein Aperturlicht mit einem Radius von 1 mm können wir prüfen, ob das Fraunhofer-Integral gültig ist. Es ist gleich (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ) oder 40, was >> 1 ist und das Fraunhofer-Integral ungültig ist. Für sichtbares Licht wird NFS , solange die Aperturblende in der Größenordnung von Millimetern vom Detektor liegt, niemals annähernd 1 sein, geschweige denn viel kleiner.
Diese Gleichungen können sich etwas von denen auf Wikipedia unterscheiden. Ich würde auf OPT 261, Interference & Diffraction am Institut für Optik der Universität Rochester verweisen, das von Professor Vamivakas unterrichtet wird. Die Gleichungen in Optics von Hecht sollten ziemlich ähnlich sein. Die Gleichungen beziehen sich auf die komplexe Amplitude . Um die Bestrahlungsstärke (auch bekannt als Intensität oder Helligkeit) zu erhalten, würden Sie die quadratische Größe des Ergebnisses verwenden.
