Es gibt zwei harte Grenzen, wie schnell ein Objektiv sein kann:
Das erste ist eine thermodynamische Grenze. Wenn Sie ein Objektiv beliebig schnell herstellen könnten, könnten Sie es auf die Sonne richten und damit Ihren Sensor erwärmen (keine gute Idee). Wenn Sie dann Ihren Sensor heißer als die Oberfläche der Sonne bekommen, verletzen Sie den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik .
Dies setzt eine harte Grenze bei 1: 0,5 fest, die sich aus der Erhaltung von Etendue ableiten lässt . Nun, technisch ist es eher wie T / 0,5. Sie können Objektive mit einer Blendenzahl von weniger als 0,5 herstellen, diese sind jedoch nicht so schnell, wie es die Blendenzahl vermuten lässt: Entweder funktionieren sie nur bei Makroentfernungen (mit „effektiven“ Blendenzahlen von mehr als 0,5), oder sie funktionieren Sie sollten so aberriert sein, dass sie für die Fotografie unbrauchbar sind (wie einige Linsen, die zum Fokussieren von Laserstrahlen verwendet werden und die nur einen Punkt im Unendlichen auf der Achse zuverlässig fokussieren können).
Die zweite Grenze ist die Montierung. Dies begrenzt den Winkel des Lichtkegels, der auf den Sensor trifft. Ihr Trick, ein divergierendes Element zu verwenden , funktioniert nicht . Sie bekommen sicherlich eine breitere Eintrittspupille, aber dann haben Sie eine Linsenkombination, die eine längere Brennweite als die ursprüngliche Linse hat. Eigentlich ist Ihr Trick sehr beliebt: Man nennt ihn ein " Tele " -Design. Größeres Objektiv, gleiche Blendenzahl.
Wenn die Objektivfassung einen maximalen Winkel α für den Lichtkegel zulässt, hat das schnellste Objektiv, das Sie erhalten können, eine Blendenzahl von gleich
N = 1 / (2 × sin (α / 2))
oder äquivalent dazu N = 1 / (2 × NA), wobei NA die numerische Apertur ist . Diese Formel zeigt auch die harte Grenze bei 0,5: sin (α / 2) kann nicht größer als 1 sein. Übrigens, wenn Sie versuchen, diese Formel unter Verwendung von Annäherungen mit kleinen Winkeln abzuleiten, erhalten Sie eine Tangente anstelle eines Sinus. Kleinwinkelnäherungen eignen sich nicht für sehr schnelle Objektive. Verwenden Sie stattdessen die Abbe-Sinus-Bedingung .
Für diese zweite Grenze gilt der gleiche Vorbehalt bezüglich der f-Zahlen gegenüber den T-Zahlen. Sie können ein Objektiv mit einer Blendenzahl kleiner als 1 / (2 × sin (α / 2)) erhalten, dies funktioniert jedoch nur auf Makroebene, und die balgkorrigierte Blendenzahl ist immer noch größer als der Grenzwert.
Ableitung
Dieser Abschnitt, der am 26. November hinzugefügt wurde, ist für Mathematiker gedacht. Ignorieren Sie es einfach, da die entsprechenden Ergebnisse bereits oben aufgeführt sind.
Hier gehe ich davon aus, dass wir eine verlustfreie Linse verwenden (dh sie spart Luminanz), um das Licht eines Objekts mit gleichmäßiger Luminanz L in eine Bildebene zu fokussieren . Die Linse ist von Luft umgeben (Index 1), und wir betrachten das Licht, das auf einen Infinitesimalbereich d S um und senkrecht zur optischen Achse fällt. Dieses Licht liegt in einem Öffnungskegel α. Wir wollen die Beleuchtungsstärke berechnen, die das Objektiv auf d S liefert .
In der folgenden Abbildung definieren die Randstrahlen in Grün den Lichtkegel mit der Öffnung α, während die Hauptstrahlen in Rot den Zielbereich d S definieren .
Das Ende des Lichtstrahls, der d S beleuchtet, ist
d G = d S cosθ dω
wobei dω ein infinitesimaler Raumwinkel ist und das Integral über θ ∈ [0, α / 2] liegt. Das Integral kann berechnet werden als
d G = D S ∫ 2π sin & theta; cos & theta; d & theta;
= d S ∫ π d (sin 2 θ)
= d S π sin 2 (α / 2)
Die Beleuchtungsstärke in der Bildebene beträgt dann
I = L d G / d S = L π sin 2 (α / 2)
Wir können nun die "Geschwindigkeit" der Linse als ihre Fähigkeit definieren, eine Bildebenen-Beleuchtungsstärke für eine gegebene Objektluminanz bereitzustellen, d. H
Geschwindigkeit = I / L = d G / d S = π sin 2 (α / 2)
Es ist anzumerken, dass dieses Ergebnis ziemlich allgemein ist, da es sich nicht auf Annahmen über die Abbildungsqualitäten des Objektivs stützt, sei es fokussiert, aberriert, seine optische Formel, Brennweite, Blendenzahl, Motiventfernung usw.
Nun füge ich einige zusätzliche Annahmen hinzu, die für eine aussagekräftige Vorstellung von der Blendenzahl nützlich sind: Ich gehe davon aus, dass dies ein gutes Abbildungsobjektiv mit einer Brennweite von f , einer Blendenzahl von N und einem Eintrittspupillendurchmesser von p = f / N ist . Das Objekt befindet sich im Unendlichen und die Bildebene ist die Fokusebene. Dann wird der Infinitesimalbereich d S auf der Bildebene mit einem Infinitesimalabschnitt des Objekts mit einer Raumwinkelgröße d & OHgr; = d S / f 2 konjugiert .
Da die Fläche der Eintrittspupille ist π p 2 /4, kann der Lichtleitwert auf der Objektseite berechnet werden als
d G = d & ohgr; π p 2 /4
= dS π p 2 / (4 f 2 )
= dS π / (4 N 2 )
Und damit ist die Geschwindigkeit der Linse
Geschwindigkeit = π / (4 N 2 )
Das Gleichsetzen mit der Geschwindigkeit, die auf der Bildseite berechnet wurde, ergibt
N = 1 / (2 sin (α / 2))
Ich sollte hier auf der Tatsache bestehen, dass die letzten Annahmen, die ich gemacht habe (das Objektiv ist ein richtiges Abbildungsobjektiv, das auf Unendlich fokussiert ist), nur benötigt werden, um die Geschwindigkeit mit der Blendenzahl in Beziehung zu setzen. Sie werden nicht benötigt, um die Geschwindigkeit mit sin (α / 2) in Beziehung zu setzen. Somit gibt es immer eine harte Grenze, wie schnell eine Linse sein kann, während die f-Zahl nur beschränkt ist , soweit es sinnvoll die Linse Geschwindigkeit zu messen.
N = 1/(2 sin(\alpha/2)))? 2) Was sind typische Werte von \ alpha für gängige Kamerahalterungen?