Wenn Sie sich Ihre Frage ansehen, sieht es so aus, als würden Sie DHCP und Routing verwechseln.
Um klar zu sein, beide erfüllen unterschiedliche Aufgaben und haben wirklich nichts miteinander zu tun. DHCP ist eine Möglichkeit, Clients dynamisch IPs zuzuweisen. Durch das Routing können Sie von einem Netzwerk zu einem anderen wechseln.
Um Ihre Frage zu beantworten. Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Ihr Computer erkennt, dass sich ein Router im Netzwerk befindet. Entweder weil Sie manuell eine IP-Adresse / Subnetzmaske mit einem Standard-Gateway zugewiesen haben (Standard-Gateway ist der Router), oder weil der Computer so eingestellt wurde, dass er eine IP über DHCP anfordert und innerhalb des DHCP-Angebots, das er von dem Server erhalten hat, den er enthält Standard-Gateway für den Client.
Der Client versucht keine Kommunikation mit einem Router, bis eine IP-Adresse und ein Standard-Gateway konfiguriert sind (erneut manuell oder über DHCP). Der Computer überprüft dann anhand seiner eigenen IP-Adresse und Subnetzmaske, ob sich die IP-Adresse, mit der er zu kommunizieren versucht, in seinem lokalen Netzwerk befindet. Wenn dies der Fall ist, wird versucht, die Daten direkt an das Gerät zu senden. Wenn dies nicht der Fall ist, wird das konfigurierte Standard-Gateway (Router) überprüft und dorthin gesendet. Der Router sendet dann den Datenverkehr an das Ziel, da er eine Route hat, oder an einen anderen Router, der möglicherweise weiß, wo das Zielnetzwerk vorhanden ist.