Breitengrad über und unter der Erdoberfläche

Ich weiß, dass die geodätische Breite in Bezug auf die Normalen an einem Punkt auf der Oberfläche des Referenzellipsoids gemessen wird. Aber was ist mit Punkten über und unter der Oberfläche? Folgen sie einem hyperbolischen Weg? (Siehe die von mir erstellte Grafik.) Oder folgen sie einer geraden Linie?

Wikipedia sagt : "[Ellipsoid] -Koordinaten sind die natürliche Wahl in Modellen des Schwerefelds für eine gleichmäßige Verteilung der Masse, die durch das Referenzellipsoid begrenzt wird."

Der Breitengrad sollte nach Möglichkeit der Schwerkraft folgen, nicht wahr?

Nein, der Breitengrad folgt nicht der Schwerkraft (wie @mkennedy feststellt, folgt er der Normalen zum Ellipsoid).

Und nein, die Schwerkraft folgt nicht Ihrer hyperbolischen Kurve (noch einer geraden Linie).

Das einfachste Modell für die Schwerkraft der Erde, das für ihre Ellipsoidform und ihre Rotation verantwortlich ist, ist die "normale Schwerkraft". (Und die Formeln für die normale Schwerkraft in Bezug auf Ellipsoid - Koordinaten bequem ausgedrückt.) Leider ist der Wikipedia - Artikel zu diesem Thema Schwereabplattung und Normalschwere Formel , ist in mangelhaft , dass die Höhenvariation nur etwa behandelt wird. (Ich hatte noch nicht die Energie, dies zu beheben!) Allerdings habe ich hier einige detaillierte Hinweise zur normalen Schwerkraft geschrieben .

Hier ist die Abbildung aus diesen Notizen, die die Feldlinien (grün) und ebenen Flächen (blau) für ein übertriebenes Modell der Erde zeigt:

Die rote Kurve ist die Oberfläche des Ellipsoids. Die normale Schwerkraft wird nur außerhalb des Ellipsoids eindeutig definiert, da die Schwerkraft innerhalb des Ellipsoids von der Massenverteilung abhängt (die in der Ableitung der normalen Schwerkraft nicht angegeben ist). In dieser Figur wurde die normale Schwerkraft innerhalb des Ellipsoids ausgedehnt, wobei angenommen wurde, dass sich die Masse alle auf eine Scheibe in der Äquatorialebene konzentriert.

NACHTRAG

Fallende Körper folgen übrigens nicht den Feldlinien. Da es sich um ein rotierendes System handelt, kommen Coriolis-Kräfte ins Spiel. Zusätzlich bewirken die Interia des Körpers, dass der Körper von einer gekrümmten Feldlinie abweicht.

EIN ANDERES ADDENDUM

Die Feldlinien folgen Hyperbeln, wenn sich das Ellipsoid nicht dreht. Zwei mögliche Massenverteilungen, die dann zu einem konstanten Gravitationspotential auf dem Referenzellipsoid führen (dh die Bedingungen für die normale Schwerkraft erfüllen), sind:

• Die gesamte Masse ist gleichmäßig zwischen dem Ellipsoid und einem etwas kleineren ähnlichen Ellipsoid angeordnet. In diesem Fall ist das Potential innerhalb des Ellipsoids konstant. Eine solche Ellipsoidschale wird als Homöoid bezeichnet .

• Eine massive Kreisscheibe mit dem Radius E , wobei E ² = a ² - b ² , mit einer Massenverteilung proportional zu 1 / sqrt ( E ² - R ² ) für den Radius R < E . Dies ist der Grenzfall des Homöoiden.

• Wenn a < b (das Ellipsoid ist prolatiert), wird die Scheibe durch einen massiven Stab mit gleichmäßiger Massenverteilung ersetzt.

Details sind in meinen Notizen angegeben .

DRITTES ADDENDUM

Eine gleichmäßige Massenverteilung ist eine mögliche Lösung für das Problem der normalen Schwerkraft. Dies ist das sogenannte Maclaurin-Sphäroid . In diesem Fall ist die Abflachung durch die Drehung gegeben (anstatt unabhängig angegeben zu werden). In diesem Fall sind die ebenen Flächen innerhalb des Ellipsoids konzentrisch ähnliche Ellipsoide, und die Feldlinien enden alle in der Mitte des Ellipsoids. (Das Feld außerhalb des Ellipsoids ist natürlich die normale Schwerkraft.) Hier sind die ebenen Flächen (blau) und Feldlinien (grün) innerhalb des Ellipsoids für f = 1/5:

In Breiten näher am Äquator ist die durch die Erdrotation erzeugte Trägheit stärker als in polaren Breiten. Dies wirkt der Schwerkraft der Erde in geringem Maße entgegen - bis zu maximal 0,3% am Äquator - und verringert die Abwärtsbeschleunigung fallender Objekte.

Der Unterschied in der Schwerkraft in verschiedenen Breiten besteht darin, dass die äquatoriale Ausbuchtung der Erde (die auch durch Trägheit verursacht wird) dazu führt, dass Objekte am Äquator weiter vom Zentrum des Planeten entfernt sind als Objekte an den Polen. Da die Kraft aufgrund der Anziehungskraft zwischen zwei Körpern (der Erde und dem zu wiegenden Objekt) umgekehrt zum Quadrat des Abstandes zwischen ihnen variiert, erfährt ein Objekt am Äquator eine schwächere Anziehungskraft als ein Objekt an den Polen.

In Kombination bedeuten die äquatoriale Ausbuchtung und die Auswirkungen der Erdträgheit, dass die Gravitationsbeschleunigung des Meeresspiegels von etwa 9.70999 m · s - 2 am Äquator auf etwa 9.832 m · s - 2 an den Polen ansteigt, sodass ein Objekt etwa wiegt 0,5% mehr an den Polen als am Äquator.

Die gleichen zwei Faktoren beeinflussen die Richtung der effektiven Schwerkraft. Überall auf der Erde, weit weg vom Äquator oder den Polen, zeigt die effektive Schwerkraft nicht genau zum Erdmittelpunkt, sondern senkrecht zur Oberfläche des Geoids, das aufgrund der abgeflachten Form der Erde etwas zum gegenüberliegenden Pol zeigt. Etwa die Hälfte der Auslenkung ist auf Trägheit zurückzuführen, und die Hälfte darauf, dass die zusätzliche Masse um den Äquator eine Änderung der Richtung der tatsächlichen Gravitationskraft relativ zu der auf einer kugelförmigen Erde wäre.

https://pburnley.faculty.unlv.edu/GEOL442_642/GRAV/NOTES/GravityNotes18LatitudeVariations.htm

In Bezug auf die Punkte über und unter der Oberfläche aus Sicht des Beobachters folgen sie einer geraden Linie.

Vergessen Sie nicht, dass der Breitengrad relativ zu einer ellipsoiden Oberfläche definiert ist. Eine Höhe über oder unter dem Ellipsoid (HAE) ist nur entlang dieser Linie senkrecht zur Oberfläche versetzt.

Wenn Sie stattdessen mit ebenen Flächen arbeiten, kann sich die Senkrechte zu dieser Fläche ändern, wenn sich die Höhe ändert - da sich der Punkt jetzt auf einer anderen ebenen Fläche befindet. Dieser Unterschied zwischen der Normalen zur Schwerkraft- / Niveaufläche und einer Ellipsoidfläche wird als Auslenkung der Vertikalen bezeichnet.