Gibt es einen optimalen Algorithmus, um den längsten kürzesten Pfad in einem Netzwerk zu finden?

Ich habe eine große Anzahl linearer Netzwerke und möchte die beiden Enden jedes Netzwerks finden, die entlang des Netzwerks am weitesten voneinander entfernt sind (in der Abbildung unten wären es D bis K). Die Brute-Force-Lösung für dieses Problem besteht darin, den kürzesten Pfad entlang des Netzwerks für jedes Ursprungspaar zu berechnen. Ich habe jedoch Hunderte von Netzwerken mit Tausenden von Enden. Daher ist die Berechnung jedes möglichen Pfads recht schwierig.

Gibt es eine optimale Methode, um dies zu berechnen, ohne die Brute Force einzusetzen? Kann ich einige Punkte aufgrund einiger cleverer Regeln ausschließen?

EDIT: Ich habe eine Illustration des längsten von @Alex Tereshenkov erwähnten Pfades hinzugefügt, um meine Frage zu klären. Der schwarze Pfad ist das Ergebnis des Algorithmus für den längsten Pfad (längster Pfad ohne Wiederholung von Scheitelpunkten). Stellen Sie sich in meinem Fall vor, Sie betreten das Netzwerk von einem beliebigen Buchstaben aus und müssen so schnell wie möglich zu einem anderen Buchstaben fahren. Welche beiden Buchstaben sind am schwierigsten zu verbinden?

Ich denke, Sie suchen möglicherweise nach dem Diagrammdurchmesser Ihres Netzwerks. Es gibt einige Fragen zum Stack-Austausch, die dieses Thema betreffen, z.

• Die zeitliche Komplexität beim Ermitteln des Durchmessers eines Diagramms
• Guter Algorithmus zum Ermitteln des Durchmessers eines (spärlichen) Graphen?
• Was versteht man unter einem Netzwerkdurchmesser?
• Unterschied zwischen dem Durchmesser eines Diagramms und dem längsten Pfad des Diagramms

Die meisten Algorithmen schlagen vor, zuerst die "kürzesten Wege aller Paare" zu berechnen und den längsten davon auszuwählen, aber ich fand einen Blog-Beitrag von Koushik Narayanan , der einen alternativen Ansatz vorschlägt, der optimaler sein könnte (ich habe nicht geprüft), welcher iteriert über jeden Scheitelpunkt und findet das am weitesten entfernte Paar:

Wir können den Pfad von einem Scheitelpunkt V1 so berechnen, dass er der kürzeste Pfad zwischen V1 und einem der Scheitelpunkte ist und länger als der kürzeste Pfad zwischen einem beliebigen anderen Scheitelpunkt. In diesem Beitrag finden Sie einen Algorithmus. Dann können wir durch jeden Scheitelpunkt iterieren und den längsten Pfad mit jedem Scheitelpunkt als Wurzel finden. Sobald wir die Liste aller längsten kürzesten Pfade haben, können wir denjenigen mit dem Maximalwert finden und zurückgeben.

Laut Wikipedia-Seite Längster Pfad Problem , dieses Problem

... ist NP-hart, was bedeutet, dass es für beliebige Graphen nicht in Polynomzeit gelöst werden kann , es sei denn P = NP. Es sind auch stärkere Härteergebnisse bekannt, die zeigen, dass eine Annäherung schwierig ist. Allerdings hat es eine lineare Zeitlösung für die gerichtete azyklische Graphen, die wichtigen Anwendungen bei der Suche nach dem kritischen Pfad in Planungsproblemen hat.

Wenn Sie mit DAG arbeiten (oder Ihr Diagramm als DAG darstellen können ), können networkxSie es mit dem Python-Paket berechnen. Suchen Sie nach der Funktion dag_longest_path.

Wenn mir nichts fehlt, müssen Sie die Länge zwischen den Diagrammknoten berechnen und sortieren, was leider nur in linearer Zeit funktioniert , dh es gibt keinen effizienten Algorithmus dafür.