Wie berechnet man den Erdradius bei einer bestimmten geodätischen Breite?

(Ich sehe, dass es auf Wikipedia eine Gleichung gibt , die genau das tut, wonach ich frage, aber es gibt keine Referenzen. Ich habe keine Möglichkeit, die Gültigkeit dieser Gleichung zu bestätigen!)

Ich verstehe bereits den Unterschied zwischen geozentrischer Breite und geodätischer Breite.

Unter der Annahme, dass bekannte Halb-Dur- aund Halb-Moll- bRadien angegeben sind. Wie berechnet man den Radius bei einer bestimmten geodätischen Breite?

Ich benötige eine Art Expertenbestätigung (Ableitung, Link zur Ableitung, Bestätigung durch den Experten, Erklärung usw.).

Diese Frage geht von einem Ellipsoidmodell der Erde aus. Die Bezugsfläche wird erhalten, indem eine Ellipse um ihre Nebenachse gedreht wird (gemäß Konvention vertikal aufgetragen). Eine solche Ellipse ist nur ein Kreis, der horizontal um den Faktor a und vertikal um den Faktor b gedehnt wurde . Unter Verwendung der Standardparametrierung des Einheitskreises

t --> (cos(t), sin(t))

(was Cosinus und Sinus definiert ), erhalten wir eine Parametrisierung

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Die beiden Komponenten dieser Parametrisierung beschreiben eine Kurvenfahrt: Sie geben in kartesischen Koordinaten unseren Standort zum "Zeitpunkt" t an .)

Die geodätische Breite , f , jeder Punkt ist der Winkel, „up“ Marken auf die Äquatorialebene. Wenn ein unterscheidet sich von b , der Wert von f von derjenigen unterscheidet sich von t (außer entlang dem Äquator und an den Polen).

In diesem Bild ist die blaue Kurve ein Quadrant einer solchen Ellipse (im Vergleich zur Erdexzentrizität stark übertrieben). Der rote Punkt in der unteren linken Ecke ist die Mitte. Die gestrichelte Linie kennzeichnet den Radius zu einem Punkt auf der Oberfläche. Seine "Auf" -Richtung ist dort mit einem schwarzen Segment dargestellt: Es ist per Definition senkrecht zu der Ellipse an diesem Punkt. Aufgrund der übertriebenen Exzentrizität ist leicht zu erkennen, dass "up" nicht parallel zum Radius ist.

In unserer Terminologie bezieht sich t auf den Winkel, den der Radius zur Horizontalen bildet, und f auf den Winkel, den dieses schwarze Segment bildet. (Beachten Sie, dass jeder Punkt auf der Oberfläche aus dieser Perspektive betrachtet werden kann. Auf diese Weise können wir sowohl t als auch f auf einen Wert zwischen 0 und 90 Grad begrenzen . Deren Cosinus und Sinus sind positiv, sodass wir uns nicht um negative Punkte kümmern müssen Quadratwurzeln in den Formeln.)

Der Trick besteht darin, von der t -Parameterisierung in eine in Bezug auf f umzuwandeln , da in Bezug auf t der Radius R leicht zu berechnen ist (über den Satz von Pythagoras). Sein Quadrat ist die Summe der Quadrate der Komponenten des Punktes,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Um diese Umwandlung durchzuführen, müssen wir die Aufwärtsrichtung f mit dem Parameter t in Beziehung setzen . Diese Richtung ist senkrecht zur Tangente der Ellipse. Per Definition erhält man eine Tangente an eine Kurve (ausgedrückt als Vektor) durch Differenzieren ihrer Parametrisierung:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(Die Differenzierung berechnet die Änderungsrate. Die Änderungsrate unserer Position während wir uns um die Kurve bewegen ist natürlich unsere Geschwindigkeit und zeigt immer entlang der Kurve.)

Drehen Sie diesen im Uhrzeigersinn um 90 Grad, um die Senkrechte zu erhalten, die als "normaler" Vektor bezeichnet wird:

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

Die Steigung dieses Normalenvektors gleich (a sin (t)) / (b cos (t)) ("Anstieg über Lauf") ist auch der Tangens des Winkels, den er zur Horizontalen bildet, von wo aus

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

Äquivalent dazu

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Wenn Sie einen guten Einblick in die euklidische Geometrie haben, können Sie diese Beziehung direkt aus der Definition einer Ellipse erhalten, ohne Trigger oder Kalkül durchlaufen zu müssen, indem Sie einfach erkennen, dass sich die kombinierten horizontalen und vertikalen Ausdehnungen von a und b ändern alle Steigungen um diesen Faktor b / a .)

Schauen Sie sich noch einmal die Formel für R (t) ^ 2 an: Wir kennen a und b - sie bestimmen die Form und Größe der Ellipse - also müssen wir nur cos (t) ^ 2 und sin (t) ^ 2 finden in Bezug auf f , was die vorhergehende Gleichung uns leicht machen lässt:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Wenn tan (f) unendlich ist, sind wir am Pol, setzen Sie in diesem Fall einfach f = t .)

Das ist die Verbindung, die wir brauchen. Setzen Sie diese Werte für cos (t) ^ 2 und sin (t) ^ 2 in den Ausdruck für R (t) ^ 2 ein und vereinfachen Sie das Erhalten

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Eine einfache Transformation zeigt, dass diese Gleichung mit der bei Wikipedia übereinstimmt. Weil a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 und (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

Interessant zu finden, dass meine mathematische Analphabetenlösung den Job mit 5 Minuten Nachdenken und Codieren erledigt hat. Müsste der Abflachungsfaktor nicht eher berücksichtigt werden als ein perfektes elliptisches Modell?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

Zumindest ist dies die Formel, die ich im US-amerikanischen Data Analysis and Assessment Center (DAAC) für das HPCMP- Wiki (High Performance Computing Modernization Program) des US-Verteidigungsministeriums gefunden habe . Es heißt, dass sie sich stark vom Wikipedia- Eintrag geliehen haben . Dennoch sollte die Tatsache, dass sie diese Formel beibehalten, für etwas zählen.