Dies scheint ein guter Ort zu sein, um eine einfache, schnelle und mehr als einigermaßen genaue Methode zur Berechnung von Steigungen für ein global ausgedehntes DEM zu beschreiben .
Prinzipien
Es sei daran erinnert, dass die Neigung einer Oberfläche an einem Punkt im Wesentlichen das größte Verhältnis von "Anstieg" zu "Lauf" ist, das bei allen möglichen Peilungen von diesem Punkt aus auftritt. Das Problem ist, dass bei einer Projektion mit Skalenverzerrung die Werte von "run" falsch berechnet werden. Schlimmer noch, wenn die Maßstabsverzerrung mit der Peilung variiert - was bei allen nicht konformen Projektionen der Fall ist -, wird die Abweichung der Steigung mit der Peilung falsch geschätzt, wodurch eine genaue Ermittlung des maximalen Anstiegs - Lauf - Verhältnisses (und eine Verdrehung des Maßstabs) verhindert wird Berechnung des Aspekts).
Wir können dies lösen, indem wir eine konforme Projektion verwenden, um sicherzustellen, dass die Skalierungsverzerrung nicht mit der Peilung variiert, und dann die Neigungsschätzungen korrigieren , um die Skalierungsverzerrung zu berücksichtigen (die von Punkt zu Punkt auf der Karte variiert). Der Trick besteht darin, eine globale konforme Projektion zu verwenden, die einen einfachen Ausdruck für die Skalenverzerrung ermöglicht.
Die Mercator-Projektion passt zur Rechnung: Wenn der Maßstab am Äquator korrekt ist, entspricht seine Verzerrung der Sekante des Breitengrads. Das heißt, Entfernungen auf der Karte scheinen mit dem Sekanten multipliziert zu werden. Dies veranlasst jede Steigungsberechnung, einen Anstieg zu berechnen: (sec (f) * run) (was ein Verhältnis ist), wobei f der Breitengrad ist. Um dies zu korrigieren, müssen wir die berechneten Steigungen mit sec (f) multiplizieren. oder gleichwertig durch cos (f) dividieren. Dies gibt uns das einfache Rezept:
Berechnen Sie die Steigung (als Anstieg: Laufen oder Prozent) mit einer Mercator-Projektion und dividieren Sie das Ergebnis durch den Kosinus des Breitengrads.
Arbeitsablauf
Führen Sie dazu mit einem in Dezimalgraden angegebenen Raster (z. B. einem SRTM-DEM) die folgenden Schritte aus:
Erstellen Sie ein Breitengradraster. (Dies ist nur das y-Koordinatengitter.)
Berechnen Sie den Cosinus.
Projekt sowohl die DIE und die Kosinus der Breite einer Mercator - Projektion unter Verwendung von in dem Maßstab am Äquator wahr ist.
Falls erforderlich, rechnen Sie die Höheneinheiten so um, dass sie mit den Einheiten der projizierten Koordinaten (normalerweise Meter) übereinstimmen.
Berechnen Sie die Steigung des projizierten DEM entweder als reine Steigung oder als Prozent ( nicht als Winkel).
Teilen Sie diese Steigung durch das projizierte Kosinusgitter (Breitengrad).
Projizieren Sie das Steigungsgitter zur weiteren Analyse oder Zuordnung gegebenenfalls auf ein anderes Koordinatensystem.
Die Fehler in den Steigungsberechnungen betragen bis zu 0,3% (da bei diesem Verfahren ein sphärisches Erdmodell anstelle eines ellipsoiden Modells verwendet wird, das um 0,3% abgeflacht ist). Dieser Fehler ist wesentlich kleiner als andere Fehler, die in die Steigungsberechnung einfließen und daher vernachlässigt werden können.
Vollständig globale Berechnungen
Die Mercator-Projektion kann nicht mit beiden Polen umgehen. Verwenden Sie für Arbeiten in Polarregionen eine polare stereografische Projektion mit echter Skalierung am Pol. Die Skalenverzerrung beträgt 2 / (1 + sin (f)). Verwenden Sie diesen Ausdruck anstelle von sec (f) im Workflow. Anstatt ein Kosinusgitter (Breitengrad) zu berechnen, berechnen Sie insbesondere ein Gitter mit den Werten (1 + sin (Breitengrad)) / 2 ( Bearbeiten : Verwenden Sie -latitude für den Südpol, wie in den Kommentaren erläutert). Gehen Sie dann genauso vor wie zuvor.
Um eine vollständige globale Lösung zu erhalten, sollten Sie das Erdgitter in drei Teile aufteilen - einen um jeden Pol und einen um den Äquator -, in jedem Teil eine separate Steigungsberechnung mit einer geeigneten Projektion durchführen und die Ergebnisse mosaikieren. Ein vernünftiger Ort, um den Globus zu spalten, liegt in Breitengraden von 2 * ArcTan (1/3), was ungefähr 37 Grad entspricht, da in diesen Breitengraden der Mercator- und der Stereographic-Korrekturfaktor gleich sind (einen gemeinsamen Wert haben) von 5/4) und es wäre schön, die Größe der vorgenommenen Korrekturen zu minimieren. Zur Überprüfung der Berechnungen sollten sich die Gitter in sehr enger Übereinstimmung befinden, wo sie überlappen (winzige Mengen an Gleitkommaungenauigkeit und Differenzen aufgrund der Neuabtastung der projizierten Gitter sollten die einzigen Ursachen für Abweichungen sein).
Verweise
John P. Snyder, Kartenprojektionen - Ein Arbeitshandbuch . USGS Professional Paper 1395, 1987.