Ableiten der Ablenkkraftgleichung für einen Träger, der an beiden Enden befestigt ist

Ich möchte die Kraft-Weg-Gleichung für einen Balken berechnen, der an beiden Enden befestigt ist. Ich denke, ich sollte das Überlagerungsprinzip anwenden, bin mir aber nicht sicher, wie ich anfangen soll.

Ich weiß, dass zum Beispiel für einen Träger mit einem festen Ende und einer aufgebrachten Last $P$ :

\begin{aligned} E I \frac{d^{2} v}{d x^{2}} & = μ_{0} \\ E I \frac{d v}{d x} & = μ_{0} x + C_{1} \\ E I v (x) & = μ_{0} x^{2} / 2 + C_{1} x + C_{2} \end{aligned}

$\begin{align} EI \frac{d^2v}{dx^2}&=\mu_0\\ EI \frac{dv}{dx}&=\mu_0x+C_1\\ EI v(x)&=\mu_0x^2/2+C_1x+C_2 \end{align}$

Wie kann ich das für einen festen Balken an beiden Enden lösen ?

civil-engineering beam deflection

— user5785
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Betrachten Sie einen horizontalen Balken der Länge entlang der x-Achse mit vertikaler Verschiebung . Bedenken Sie auch, dass bei eine Last anliegt $L$ $v$ $P$ : $\frac{L}{2}$

\frac{d^{2} v (x)}{d x^{2}} = \frac{M (x)}{E I}

$\dfrac{d^2v(x)}{dx^2} = \dfrac{M(x)}{EI}$

Beginnen Sie mit dem Finden des Moments in Bezug auf x. Sie sollten wissen, dass die Momentreaktion am linken Ende und die Kraftreaktion Für lautet die Momentfunktion: $-PL/8$ $P/2$ $0 \le x \le L/2$

M (x) - \frac{P L}{8} + \frac{P}{2} x = 0

$M(x) - \dfrac{PL}{8} + \dfrac{P}{2}x = 0$

M (x) = \frac{P L}{8} - \frac{P}{2} x

$M(x) = \dfrac{PL}{8} - \dfrac{P}{2}x$

Einmal integrieren:

\frac{d^{2} v (x)}{d x^{2}} = \frac{P L}{8 E I} - \frac{P}{2 E I} x

$\dfrac{d^2v(x)}{dx^2} = \dfrac{PL}{8EI} - \dfrac{P}{2EI}x$

\frac{d v (x)}{d x} = θ (x) = \frac{P L}{8 E I} x - \frac{P}{4 E I} x^{2} + C_{1}

$\dfrac{dv(x)}{dx} = \theta(x) = \dfrac{PL}{8EI}x - \dfrac{P}{4EI}x^2 + C_1$

$\theta(x)$ $\theta(0)=0$

θ (0) = 0 + 0 + C_{1}

$\theta(0) = 0 + 0 + C_1$

∴ C_{1} = 0

$\therefore C_1=0$

∴ θ (x) = \frac{P L}{8 E I} x - \frac{P}{4 E I} x^{2}

$\therefore \theta(x) = \dfrac{PL}{8EI}x - \dfrac{P}{4EI}x^2$

Integriere erneut:

v (x) = \frac{P L}{16 E I} x^{2} - \frac{P}{12 E I} x^{3} + C_{2}

$v(x) = \dfrac{PL}{16EI}x^2 - \dfrac{P}{12EI}x^3 + C_2$

$v(0)=0$

v (0) = 0 + 0 + C_{2}

$v(0) = 0 + 0 + C_2$

∴ C_{2} = 0

$\therefore C_2 = 0$

∴ v (x) = \frac{P L}{16 E I} x^{2} - \frac{P}{12 E I} x^{3}

$\therefore v(x) = \dfrac{PL}{16EI}x^2 - \dfrac{P}{12EI}x^3$

= \frac{P x^{2}}{48 E I} (3 L - 4 x)

$= \dfrac{Px^2}{48EI}(3L-4x)$

Diese Gleichung gilt nur zwischen , das Beispiel ist jedoch symmetrisch. $0 \le x \le L/2$

— pauloz1890
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