Differentialgleichung der vertikalen Verschiebung eines Kabels

Bei einem Kabel (völlig flexibel), das an beiden Enden befestigt ist und einer vertikalen Kraft ausgesetzt ist $f(x)$ in seinem Flugzeug mit variabler Fläche $A(x)$ und variable Elastizität $E(x)$ Ich möchte die Differentialgleichung der vertikalen Verschiebung finden $y(x)$ in seiner Gleichgewichtsposition.

Ich denke, die Differentialgleichung lautet:

\frac{d}{d x} (E (x) A (x) \frac{d y (x)}{d x}) = f (x)

$\frac{d}{dx}\left( E(x)A(x)\frac{dy(x)}{dx} \right) = f(x)$ Aber dazu komme ich nicht oder so.

Ich habe folgendes versucht: Die Spannung des Kabels wird sein $\vec{T} = T\vec{u}$ wo $\vec{u}$ ist der Vektortangente zum Kabel. Einstellen des Gleichgewichts in Richtung des Kabels erhalten wir:

\vec{T} (s + Δ s) - \vec{T} (s) + \vec{f} (x) = 0

$\vec T(s+\Delta s) - \vec T (s) + \vec f(x) = 0$ damit:

\frac{d \vec{T} (s)}{d s} + \vec{f} (x) = 0

$\frac{d \vec T(s)}{ds} + \vec {f} (x) = 0$ Für die Grundelastizitätsgleichungen wissen wir das

T = A (x) E (x) ϵ

$T = A(x)E(x)\epsilon$ Aber ich weiß nicht, wie ich diese Informationen kombinieren soll, um eine Gleichung zu erhalten

x

$x$ als unabhängige Variable und

y

$y$ als der abhängige.

— Msegade
quelle

Ist die vertikale Kraft

f (x)

$f(x)$ eine verteilte Last (gleichmäßig oder nicht) oder eine konzentrierte Kraft (in diesem Fall, warum wird sie als angegeben?

f (x)

$f(x)$ ?)?

— Wasabi

@Wasabi ist eine verteilte Last, ich habe die Gleichung mit der Vektornotation geschrieben, aber seine x-Komponente ist 0. Die Kraft ist variabel mit

x

$x$ damit

f (x)

$f(x)$

— Msegade

Bei flexiblen Kabeln muss die elastische Verformung nicht berücksichtigt werden. Bitte lesen Sie "Oberleitung mit gleichmäßiger Festigkeit" für die Berücksichtigung variabler Flächen.

— Narasimham

@Narasimham Elastische Verformung muss berücksichtigt werden, wenn sie nicht trivial ist und Sie die horizontale Spannung nicht kennen. Bei der Modellierung der Verschiebung eines engen Seilwandererkabels ist dies sicherlich von Bedeutung.

— Rick

Das OP bittet um eine Grundform, die über die maßgebliche Ode entscheidet. Das Kräftegleichgewicht eines flexiblen Stahlkabels, bei dem der Fleck entlang des Kabels gering ist, wird in einer ersten Analyse vernachlässigt. Die Linie des Seilwanderers ist gerade und Form und Kräfte können aus der Statik bestimmt werden, ohne dass dies erforderlich ist

E, A

$E,A$ usw.

— Narasimham

Die horizontale Spannung bleibt konstant. Die vertikale Spannung integriert die Last. Das Verhältnis bestimmt die Richtung des Kabels:

f (x) = \frac{d T_{y} (x)}{d x}

$f(x)=\frac{dT_y(x)}{dx}$

\frac{d y (x)}{d x} = \frac{T_{y} (x)}{T_{x}}

$\frac{dy(x)}{dx}=\frac{T_y(x)}{T_x}$

y (x) = \frac{1}{T_{x}} \iint f (x) d x + C_{0} + C_{1} x

$y(x)=\frac1{T_x}\iint f(x) \, dx + C_0 +C_1 x$

Die Bestimmung von ist der schwierige Teil. $T_x$

Die Länge des Kabelwegs muss der Länge des korrekt gedehnten Kabels entsprechen.

p a t h = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{d y (x)}{d x})}^{2}} d x

$path=\int^b_a\sqrt{1+\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2} \,dx$

p a t h = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{T_{y} (x)}{T_{x}})}^{2}} d x

$path=\int^b_a\sqrt{1+\left(\frac{T_y(x)}{T_x}\right)^2} \,dx$

c a b l e = r e l a x e d + \int_{a}^{b} ϵ (x) \sqrt{1 + {(\frac{d y (x)}{d x})}^{2}} d x

$cable=relaxed+\int^b_a\epsilon(x)\sqrt{1+\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2}dx$

c a b l e = r e l a x e d + \int_{a}^{b} \frac{σ (x)}{E (x)} \sqrt{1 + {(\frac{T_{y} (x)}{T_{x}})}^{2}} d x

$cable=relaxed+\int^b_a\frac{\sigma(x)}{E(x)}\sqrt{1+\left(\frac{T_y(x)}{T_x}\right)^2}dx$

c a b l e = r e l a x e d + \int_{a}^{b} \frac{\sqrt{T_{y} (x)^{2} + {T_{x}}^{2}}}{A (x) E (x)} \frac{\sqrt{T_{y} (x)^{2} + {T_{x}}^{2}}}{T_{x}} d x

$cable=relaxed+\int^b_a\frac{\sqrt{T_y(x)^2+{T_x}^2}}{A(x)E(x)}\frac{\sqrt{T_y(x)^2+{T_x}^2}}{T_x}dx$

c a b l e = r e l a x e d + \int_{a}^{b} \frac{T_{y} (x)^{2} + {T_{x}}^{2}}{A (x) E (x) T_{x}} d x

$cable=relaxed+\int^b_a\frac{T_y(x)^2+{T_x}^2}{A(x)E(x)T_x}dx$

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(\frac{T_{y} (x)}{T_{x}})}^{2}} d x = r e l a x e d + \int_{a}^{b} \frac{T_{y} (x)^{2} + {T_{x}}^{2}}{A (x) E (x) T_{x}} d x

$\int^b_a\sqrt{1+\left(\frac{T_y(x)}{T_x}\right)^2} \,dx=relaxed+\int^b_a\frac{T_y(x)^2+{T_x}^2}{A(x)E(x)T_x}dx$

Ich denke, das ist so einfach wie möglich, ohne die Form Ihres Bereichs, die Steifheit und die Lastkurven zu kennen.

— Rick
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Beachten Sie, dass dies davon ausgeht, dass die Last nicht vom Winkel abhängt, wie in der Problemstellung dargestellt. Dies wäre nicht der Fall, wenn die Last gewichtsabhängig ist, da mehr Kabel und damit mehr Gewicht in derselben horizontalen Spannweite vorhanden sind, wenn sich das Kabel in einem größeren Winkel zur Horizontalen befindet.

— Rick